Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Singh Simon

«Είναι αποδεδειγμένο Μεγάλο ΘεώρημαΑγρόκτημα?"

Ήταν μόνο το πρώτο βήμα προς την απόδειξη της εικασίας Taniyama-Shimura, αλλά η στρατηγική του Wiles ήταν μια λαμπρή μαθηματική ανακάλυψη, ένα αποτέλεσμα που άξιζε να δημοσιευτεί. Αλλά λόγω του όρκου σιωπής που επέβαλε ο Wiles, δεν μπορούσε να πει στον υπόλοιπο κόσμο για το αποτέλεσμά του και δεν είχε ιδέα ποιος άλλος θα μπορούσε να κάνει μια εξίσου σημαντική ανακάλυψη.

Ο Wiles θυμάται τη φιλοσοφική του στάση απέναντι σε οποιονδήποτε πιθανό αμφισβητία: «Κανείς δεν θέλει να περάσει χρόνια για να αποδείξει κάτι και να ανακαλύψει ότι κάποιος άλλος κατάφερε να βρει την απόδειξη λίγες εβδομάδες νωρίτερα. Όμως, παραδόξως, καθώς προσπαθούσα να λύσω ένα πρόβλημα που θεωρείτο ουσιαστικά αδιάλυτο, δεν φοβόμουν πολύ τους αντιπάλους. Απλώς δεν περίμενα ότι εγώ ή κάποιος άλλος θα έβγαζε μια ιδέα που θα οδηγούσε σε απόδειξη».

Στις 8 Μαρτίου 1988, ο Wiles σοκαρίστηκε όταν είδε τις δακτυλογραφημένες λέξεις στα πρωτοσέλιδα των εφημερίδων. μεγάλα γράμματατίτλοι που έγραφαν: «Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε». Εφημερίδες "Washington Post" και " Νέα ΥόρκηΟι Times ανέφεραν ότι ο τριανταοκτάχρονος Yoichi Miyaoka του Μητροπολιτικού Πανεπιστημίου του Τόκιο είχε λύσει το πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα στον κόσμο. Ενώ ο Miyaoka δεν έχει ακόμη δημοσιεύσει την απόδειξή του, γενικό περίγραμμαπεριέγραψε την πορεία του σε ένα σεμινάριο στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Max Planck στη Βόννη. Ο Don Tsagir, ο οποίος ήταν παρών στην ομιλία του Miyaoka, εξέφρασε την αισιοδοξία της μαθηματικής κοινότητας με τα ακόλουθα λόγια: «Η απόδειξη που παρουσιάζει η Miyaoka είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα και ορισμένοι μαθηματικοί πιστεύουν ότι έχει μεγάλη πιθανότητα να είναι σωστή. Δεν είμαστε ακόμα απόλυτα σίγουροι, αλλά μέχρι στιγμής τα στοιχεία φαίνονται πολύ ενθαρρυντικά».

Μιλώντας σε ένα σεμινάριο στη Βόννη, ο Miyaoka μίλησε για την προσέγγισή του στην επίλυση του προβλήματος, την οποία θεώρησε από μια εντελώς διαφορετική, αλγεβρική-γεωμετρική, σκοπιά. Τις τελευταίες δεκαετίες, οι γεωμέτροι έχουν επιτύχει μια βαθιά και λεπτή κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων, ιδιαίτερα των ιδιοτήτων των επιφανειών. Στη δεκαετία του '70, ο Ρώσος μαθηματικός S. Arakelov προσπάθησε να δημιουργήσει παραλληλισμούς μεταξύ των προβλημάτων της αλγεβρικής γεωμετρίας και των προβλημάτων της θεωρίας αριθμών. Αυτό ήταν ένα από τα σκέλη του προγράμματος του Langlands και οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι τα άλυτα προβλήματα στη θεωρία αριθμών θα μπορούσαν να λυθούν μελετώντας αντίστοιχα προβλήματα στη γεωμετρία, τα οποία επίσης παρέμεναν άλυτα. Αυτό το πρόγραμμα ήταν γνωστό ως η φιλοσοφία του παραλληλισμού. Όσοι αλγεβρικοί γεωμέτρων προσπάθησαν να λύσουν προβλήματα στη θεωρία των αριθμών ονομάζονταν «αριθμητικοί αλγεβρικοί γεωμέτροι». Το 1983, κήρυξαν την πρώτη τους σημαντική νίκη όταν ο Gerd Faltings του Ινστιτούτου Προηγμένων Μελετών του Πρίνστον παρουσίασε σημαντική συνεισφοράστην κατανόηση του θεωρήματος του Φερμά. Θυμηθείτε ότι, σύμφωνα με τον Fermat, η εξίσωση

στο nμεγαλύτερο από 2 δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Ο Faltings αποφάσισε ότι είχε σημειώσει πρόοδο στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat μελετώντας γεωμετρικές επιφάνειεςσυνδέονται με διαφορετικές έννοιες n. Επιφάνειες που σχετίζονται με τις εξισώσεις του Fermat για διάφορες τιμές n, διαφέρουν μεταξύ τους, αλλά έχουν ένα κοινή περιουσία- όλα έχουν τρύπες ή, με απλά λόγια, τρύπες. Αυτές οι επιφάνειες είναι τετραδιάστατες, όπως και τα γραφήματα των αρθρωτών σχημάτων. Οι δισδιάστατες τομές δύο επιφανειών φαίνονται στο Σχ. 23. Οι επιφάνειες που σχετίζονται με την εξίσωση του Fermat μοιάζουν. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή nστην εξίσωση, τόσο περισσότερες τρύπες υπάρχουν στην αντίστοιχη επιφάνεια.

Ρύζι. 23. Αυτές οι δύο επιφάνειες λαμβάνονται χρησιμοποιώντας πρόγραμμα υπολογιστή«Mathematica». Κάθε ένα από αυτά αντιπροσωπεύει τον τόπο των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση x n + y n = z n(για την επιφάνεια στα αριστερά n=3, για την επιφάνεια στα δεξιά n=5). Μεταβλητές ΧΚαι yθεωρούνται περίπλοκα εδώ

Ο Faltings μπόρεσε να αποδείξει ότι εφόσον τέτοιες επιφάνειες έχουν πάντα πολλές τρύπες, η εξίσωση Fermat που σχετίζεται με αυτές θα μπορούσε να έχει μόνο πεπερασμένο σύνολολύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Ο αριθμός των λύσεων θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε - από μηδέν, όπως υπέθεσε ο Fermat, έως ένα εκατομμύριο ή ένα δισεκατομμύριο. Έτσι, ο Faltings δεν απέδειξε το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, αλλά τουλάχιστον κατάφερε να απορρίψει την πιθανότητα η εξίσωση του Fermat να έχει άπειρες λύσεις.

Πέντε χρόνια αργότερα, ο Miyaoka ανέφερε ότι το είχε πάει ένα βήμα παραπέρα. Ήταν τότε στα είκοσί του. Ο Miyaoka διατύπωσε μια υπόθεση σχετικά με κάποια ανισότητα. Έγινε σαφές ότι η απόδειξη της γεωμετρικής του εικασίας θα σήμαινε ότι ο αριθμός των λύσεων στην εξίσωση του Fermat δεν είναι απλώς πεπερασμένος, αλλά ίσος με το μηδέν. Η προσέγγιση του Miyaoka ήταν παρόμοια με αυτή του Wiles στο ότι και οι δύο προσπάθησαν να αποδείξουν το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat συνδέοντάς το με μια θεμελιώδη υπόθεση σε έναν άλλο κλάδο των μαθηματικών. Για τη Miyaoka ήταν αλγεβρική γεωμετρία· για τον Wiles, η πορεία προς την απόδειξη βρισκόταν μέσα από ελλειπτικές καμπύλες και αρθρωτές μορφές. Προς μεγάλη απογοήτευση του Wiles, αγωνιζόταν ακόμα να αποδείξει την εικασία Taniyama-Shimura όταν ο Miyaoka ισχυρίστηκε ότι είχε μια πλήρη απόδειξη της δικής του εικασίας και, επομένως, του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Δύο εβδομάδες μετά την ομιλία του στη Βόννη, ο Miyaoka δημοσίευσε πέντε σελίδες υπολογισμών που αποτέλεσαν την ουσία της απόδειξής του και ξεκίνησε μια ενδελεχής εξέταση. Οι θεωρητικοί αριθμών και οι ειδικοί της αλγεβρικής γεωμετρίας σε όλο τον κόσμο μελέτησαν, γραμμή προς γραμμή, δημοσίευσαν υπολογισμούς. Λίγες μέρες αργότερα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια αντίφαση στην απόδειξη που δεν μπορούσε παρά να προκαλέσει ανησυχία. Ένα μέρος της δουλειάς του Miyaoka οδήγησε σε μια δήλωση από τη θεωρία αριθμών, η οποία, όταν μεταφράστηκε στη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας, παρήγαγε μια δήλωση που έρχεται σε αντίθεση με το αποτέλεσμα που λήφθηκε αρκετά χρόνια νωρίτερα. Αν και αυτό δεν ακύρωνε απαραίτητα ολόκληρη την απόδειξη του Miyaoka, η αντίφαση που ανακαλύφθηκε δεν ταίριαζε στη φιλοσοφία του παραλληλισμού μεταξύ της θεωρίας των αριθμών και της γεωμετρίας.

Άλλες δύο εβδομάδες αργότερα, ο Γκερντ Φάλτινγκς, ο οποίος είχε ανοίξει το δρόμο για τον Μιγιάοκε, ανακοίνωσε ότι είχε ανακαλύψει την ακριβή αιτία της προφανούς παραβίασης του παραλληλισμού - ένα κενό στη λογική. Ο Ιάπωνας μαθηματικός ήταν γεωμέτρης και δεν ήταν εντελώς αυστηρός όταν μετέφραζε τις ιδέες του στο λιγότερο οικείο έδαφος της θεωρίας αριθμών. Ένας στρατός θεωρητικών αριθμών έκανε ξέφρενες προσπάθειες να κλείσει την τρύπα στην απόδειξη του Miyaoka, αλλά μάταια. Δύο μήνες αφότου ο Miyaoka ισχυρίστηκε ότι είχε μια πλήρη απόδειξη για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, η μαθηματική κοινότητα κατέληξε σε ομόφωνο συμπέρασμα: η απόδειξη του Miyaoka ήταν καταδικασμένη να αποτύχει.

Όπως και στην περίπτωση προηγούμενων αποτυχημένων αποδεικτικών στοιχείων, η Miyaoka κατάφερε να αποκτήσει πολλά ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Μερικά τμήματα της απόδειξής του ήταν αξιοσημείωτα ως πολύ έξυπνες εφαρμογές της γεωμετρίας στη θεωρία αριθμών, και τα επόμενα χρόνια άλλοι μαθηματικοί τα χρησιμοποίησαν για να αποδείξουν ορισμένα θεωρήματα, αλλά κανείς δεν κατάφερε να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά με αυτόν τον τρόπο.

Η αναταραχή για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά σύντομα έσβησε και οι εφημερίδες δημοσίευαν σύντομες ανακοινώσεις που έλεγαν ότι ο γρίφος τριακοσίων ετών παρέμενε ακόμη άλυτος. Η ακόλουθη επιγραφή εμφανίστηκε στον τοίχο του σταθμού του μετρό Eighth Street της Νέας Υόρκης, αναμφίβολα εμπνευσμένη από την κάλυψη του Τύπου του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά: «Εξ. xn + yn = znδεν έχει λύσεις. Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτού του γεγονότος, αλλά δεν μπορώ να τη γράψω εδώ γιατί το τρένο μου έφτασε».

Κεφάλαιο δέκατο ΦΑΡΜΑ ΚΡΟΚΟΔΗΛΩΝ Οδηγούσαν σε έναν γραφικό δρόμο με το αυτοκίνητο του παλιού Τζον, καθισμένοι στα πίσω καθίσματα. Στο τιμόνι ήταν ένας μαύρος οδηγός με ένα φωτεινό πουκάμισο με ένα περίεργα κομμένο κεφάλι. Πάνω στο ξυρισμένο κρανίο του στέκονταν θάμνοι από μαύρα μαλλιά σκληρά σαν σύρμα, λογική

Προετοιμασία για τον αγώνα. Alaska, Linda Pletner's Iditarod Farm είναι ένας ετήσιος αγώνας σκύλων ελκήθρου στην Αλάσκα. Το μήκος της διαδρομής είναι 1150 μίλια (1800 km). Αυτός είναι ο μεγαλύτερος αγώνας σκύλων ελκήθρου στον κόσμο. Έναρξη (εορταστική) - 4 Μαρτίου 2000 από το Anchorage. Αρχή

Κατσικοτροφείο Το καλοκαίρι στο χωριό έχει πολλή δουλειά. Όταν επισκεφτήκαμε το χωριό Khomutets, εκεί μαζεύονταν σανό και τα μυρωδάτα κύματα από φρεσκοκομμένα βότανα έμοιαζαν να διαπερνούν τα πάντα. σε αυτούς. Αυτό

Καλοκαιρινό αγρόκτημα Ένα άχυρο, σαν αστραπή χειρός, γυαλί στο γρασίδι. Ένας άλλος, έχοντας υπογράψει στον φράχτη, άναψε μια φωτιά με πράσινο ποτήρι νερό σε μια γούρνα αλόγων. Μέσα στο γαλάζιο λυκόφως Εννέα πάπιες περιπλανώνται, ταλαντεύονται, κατά μήκος μιας αυλάκωσης στο πνεύμα των παράλληλων γραμμών. Εδώ το κοτόπουλο δεν κοιτάζει τίποτα μόνο του

Ερειπωμένο αγρόκτημα Ο ήρεμος ήλιος, σαν σκούρο κόκκινο λουλούδι, Βυθίστηκε στο έδαφος, μεγαλώνει στο ηλιοβασίλεμα, Αλλά η κουρτίνα της νύχτας σε αδράνεια δύναμη Τραβούσε τον κόσμο, ταραγμένο από το βλέμμα. Η σιωπή βασίλευε στο αγρόκτημα χωρίς στέγη, Σαν κάποιος να της έκοψε τα μαλλιά, Μάλωναν για τον κάκτο

Αγρόκτημα ή αγρόκτημα; Στις 13 Φεβρουαρίου 1958, όλες οι κεντρικές εφημερίδες της Μόσχας και στη συνέχεια οι περιφερειακές εφημερίδες δημοσίευσαν την απόφαση της Κεντρικής Επιτροπής του Κομμουνιστικού Κόμματος της Ουκρανίας «Σχετικά με ένα λάθος στην αγορά αγελάδων από συλλογικούς αγρότες στην περιοχή Zaporozhye». Δεν μιλούσαμε καν για ολόκληρη την περιοχή, αλλά για δύο από τις συνοικίες της: το Primorsky

Το πρόβλημα του Fermat Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. «Στο σχολείο μου άρεσε να λύνω προβλήματα, τα έπαιρνα σπίτι και δημιουργούσα νέα από κάθε πρόβλημα. Αλλά το καλύτερο πρόβλημα που αντιμετώπισα ποτέ ήταν σε έναν τοπικό

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά Το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο άπειρος αριθμός των Πυθαγόρειων τριπλών συζητήθηκαν στο βιβλίο του E.T. Bell's "The Great Problem" - το ίδιο βιβλίο της βιβλιοθήκης που τράβηξε την προσοχή του Andrew Wiles. Και παρόλο που οι Πυθαγόρειοι πέτυχαν σχεδόν πλήρη

Τα μαθηματικά μετά την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά Παραδόξως, ο ίδιος ο Wiles είχε ανάμεικτα συναισθήματα για την έκθεσή του: «Η αφορμή για την ομιλία επιλέχθηκε πολύ καλά, αλλά η ίδια η διάλεξη μου προκάλεσε ανάμεικτα συναισθήματα. Δουλεύοντας πάνω στην απόδειξη

Κεφάλαιο 63 Old McLennon's Farm Περίπου ενάμιση μήνα μετά την επιστροφή στη Νέα Υόρκη, ένα βράδυ Νοεμβρίου, το τηλέφωνο χτύπησε στο διαμέρισμα του Lennons. Η Yoko απάντησε στο τηλέφωνο. Μια αντρική φωνή με πορτορικανική προφορά ρώτησε τη Yoko Ono. Προσποιούμενος

Το θεώρημα του Pontryagin Την ίδια περίοδο με το Ωδείο, ο πατέρας μου σπούδαζε στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, σπουδάζοντας μηχανική και μαθηματικά. Αποφοίτησε με επιτυχία και μάλιστα δίστασε για κάποιο διάστημα στην επιλογή επαγγέλματος. Η μουσικολογία κέρδισε, με αποτέλεσμα να επωφεληθεί από τη μαθηματική του νοοτροπία.Ένας από τους συμμαθητές του πατέρα μου

Θεώρημα Το θεώρημα για το δικαίωμα μιας θρησκευτικής ένωσης να επιλέγει ιερέα χρειάζεται απόδειξη. Έχει ως εξής: «Η Ορθόδοξη κοινότητα δημιουργείται... υπό την πνευματική ηγεσία ιερέα που εκλέγεται από την κοινότητα και ευλογείται από τον επισκοπικό επίσκοπο».

Ι. Φάρμα («Εδώ, από περιττώματα κοτόπουλου...») Εδώ, από περιττώματα κοτόπουλου Μια σωτηρία είναι μια σκούπα. Αγάπη - ποια; - Με πήγε στο κοτέτσι. Ραμπώντας τα σιτηρά, οι κότες κακαρίζουν, τα κοκόρια βαδίζουν σημαντικά. Και χωρίς μέγεθος και λογοκρισία Τα ποιήματα συντίθενται στο μυαλό. Σχετικά με ένα Προβηγκιανό απόγευμα

Είναι απίθανο να πέρασε έστω και ένας χρόνος στη ζωή της συντακτικής μας ομάδας χωρίς να λάβει καμιά δεκαριά αποδείξεις του θεωρήματος του Φερμά. Τώρα, μετά τη «νίκη» πάνω της, η ροή έχει υποχωρήσει, αλλά δεν έχει στερέψει.

Φυσικά, δεν δημοσιεύουμε αυτό το άρθρο για να το στεγνώσουμε εντελώς. Και όχι για δική μου υπεράσπιση - αυτό, λένε, γι 'αυτό σιωπήσαμε, εμείς οι ίδιοι δεν ήμασταν αρκετά ώριμοι για να συζητήσουμε τόσο περίπλοκα προβλήματα.

Αλλά αν το άρθρο φαίνεται πραγματικά περίπλοκο, κοιτάξτε κατευθείαν μέχρι το τέλος. Θα πρέπει να νιώσετε ότι τα πάθη έχουν υποχωρήσει προσωρινά, η επιστήμη δεν έχει τελειώσει και σύντομα νέες αποδείξεις νέων θεωρημάτων θα σταλούν στους εκδότες.

Φαίνεται ότι ο εικοστός αιώνας δεν ήταν μάταιος. Πρώτον, οι άνθρωποι δημιούργησαν έναν δεύτερο Ήλιο για μια στιγμή με την έκρηξη μιας βόμβας υδρογόνου. Στη συνέχεια περπάτησαν στη Σελήνη και τελικά απέδειξαν το περίφημο θεώρημα του Φερμά. Από αυτά τα τρία θαύματα, τα δύο πρώτα είναι γνωστά σε όλους, γιατί προκάλεσαν τεράστια κοινωνικές συνέπειες. Αντίθετα, το τρίτο θαύμα μοιάζει απλώς με ένα ακόμη επιστημονικό παιχνίδι - στο ίδιο επίπεδο με τη θεωρία της σχετικότητας, την κβαντομηχανική και το θεώρημα του Γκέντελ για την ατελότητα της αριθμητικής. Ωστόσο, η σχετικότητα και τα κβάντα οδήγησαν τους φυσικούς σε βόμβα υδρογόνου, και η έρευνα των μαθηματικών γέμισε τον κόσμο μας με υπολογιστές. Θα συνεχιστεί αυτή η σειρά θαυμάτων στον 21ο αιώνα; Είναι δυνατόν να εντοπίσουμε τη σύνδεση μεταξύ των πιο πρόσφατων επιστημονικών παιχνιδιών και των επαναστάσεων στην καθημερινή μας ζωή; Μας επιτρέπει αυτή η σχέση να κάνουμε επιτυχημένες προβλέψεις; Ας προσπαθήσουμε να το κατανοήσουμε αυτό χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Fermat ως παράδειγμα.

Ας σημειώσουμε πρώτα ότι γεννήθηκε πολύ αργότερα από τη φυσική της θητεία. Άλλωστε το πρώτο ειδική περίπτωσηΤο θεώρημα του Φερμά είναι η Πυθαγόρεια εξίσωση X 2 + Y 2 = Z 2, που συσχετίζει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Έχοντας αποδείξει αυτόν τον τύπο πριν από είκοσι πέντε αιώνες, ο Πυθαγόρας έθεσε αμέσως το ερώτημα: υπάρχουν πολλά τρίγωνα στη φύση στα οποία και οι δύο πλευρές και η υποτείνουσα έχουν ολόκληρο μήκος; Φαίνεται ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν μόνο ένα τέτοιο τρίγωνο - με πλευρές (3, 4, 5). Αλλά δεν είναι δύσκολο να βρείτε άλλες επιλογές: για παράδειγμα (5, 12, 13), (7, 24, 25) ή (8, 15, 17). Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, το μήκος της υποτείνουσας έχει τη μορφή (A 2 + B 2), όπου οι Α και Β είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί διαφορετικών ισοτιμιών. Σε αυτή την περίπτωση, τα μήκη των ποδιών είναι ίσα με (A 2 - B 2) και 2AB.

Παρατηρώντας αυτές τις σχέσεις, ο Πυθαγόρας απέδειξε εύκολα ότι οποιαδήποτε τριάδα αριθμών (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) είναι λύση της εξίσωσης X 2 + Y 2 = Z 2 και ορίζει ένα ορθογώνιο με αμοιβαία απλά μήκη πλευρών. Είναι επίσης σαφές ότι ο αριθμός των διαφορετικών τριδύμων αυτού του είδους είναι άπειρος. Όμως όλες οι λύσεις της Πυθαγόρειας εξίσωσης έχουν αυτή τη μορφή; Ο Πυθαγόρας δεν μπορούσε ούτε να αποδείξει ούτε να αντικρούσει μια τέτοια υπόθεση και άφησε αυτό το πρόβλημα στους απογόνους του χωρίς να εστιάσει σε αυτό. Ποιος θέλει να αναδείξει τις αποτυχίες του; Φαίνεται ότι μετά από αυτό το πρόβλημα των ακέραιων ορθογώνιων τριγώνων παρέμενε στη λήθη για επτά αιώνες - μέχρι που εμφανίστηκε στην Αλεξάνδρεια μια νέα μαθηματική ιδιοφυΐα με το όνομα Διόφαντος.

Γνωρίζουμε λίγα για αυτόν, αλλά είναι ξεκάθαρο: δεν έμοιαζε καθόλου με τον Πυθαγόρα. Ένιωθε βασιλιάς στη γεωμετρία και ακόμη και πέρα ​​από αυτήν - είτε στη μουσική, είτε στην αστρονομία είτε στην πολιτική. Η πρώτη αριθμητική σύνδεση μεταξύ των μηκών των πλευρών μιας ευφωνίας άρπας, το πρώτο μοντέλο του Σύμπαντος από ομόκεντρες σφαίρες που φέρουν πλανήτες και αστέρια, με τη Γη στο κέντρο, και τέλος, η πρώτη δημοκρατία των επιστημόνων στην ιταλική πόλη Crotone - αυτά είναι τα προσωπικά επιτεύγματα του Πυθαγόρα. Τι θα μπορούσε να αντιταχθεί σε τέτοιες επιτυχίες ο Διόφαντος, ένας σεμνός ερευνητής στο μεγάλο Μουσείο, που είχε πάψει από καιρό να είναι το καμάρι του πλήθους της πόλης;

Μόνο ένα πράγμα: καλύτερη κατανόηση αρχαίος κόσμοςαριθμοί, οι νόμοι των οποίων ήταν ελάχιστα κατανοητοί από τον Πυθαγόρα, τον Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη. Σημειώστε ότι ο Διόφαντος δεν γνώριζε ακόμη το σύστημα θέσης για την καταγραφή μεγάλων αριθμών, αλλά ήξερε τι αρνητικούς αριθμούςκαι πιθανότατα πέρασε πολλές ώρες σκεπτόμενος γιατί το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι θετικό. Ο κόσμος των ακεραίων αποκαλύφθηκε για πρώτη φορά στον Διόφαντο ως ένα ειδικό σύμπαν, διαφορετικό από τον κόσμο των άστρων, των τμημάτων ή των πολύεδρων. Η κύρια απασχόληση των επιστημόνων σε αυτόν τον κόσμο είναι η επίλυση εξισώσεων· ένας αληθινός δάσκαλος βρίσκει όλες τις πιθανές λύσεις και αποδεικνύει ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις. Αυτό έκανε ο Διόφαντος τετραγωνική εξίσωσηΟ Πυθαγόρας, και μετά σκέφτηκε: η παρόμοια κυβική εξίσωση X 3 + Y 3 = Z 3 έχει τουλάχιστον μία λύση;

Ο Διόφαντος δεν κατάφερε να βρει μια τέτοια λύση και η προσπάθειά του να αποδείξει ότι δεν υπάρχουν λύσεις ήταν επίσης ανεπιτυχής. Ως εκ τούτου, τεκμηριώνοντας τα αποτελέσματα της δουλειάς του στο βιβλίο "Arithmetic" (αυτό ήταν το πρώτο εγχειρίδιο στον κόσμο για τη θεωρία αριθμών), ο Διόφαντος ανέλυσε λεπτομερώς την Πυθαγόρεια εξίσωση, αλλά δεν είπε λέξη για πιθανές γενικεύσεις αυτής της εξίσωσης. Ή θα μπορούσε: τελικά, ήταν ο Διόφαντος που πρότεινε πρώτος τη σημειογραφία για τις δυνάμεις των ακεραίων! Αλλά δυστυχώς: η έννοια του «προβληματικού βιβλίου» ήταν ξένη στην ελληνική επιστήμη και παιδαγωγική, και η δημοσίευση καταλόγων άλυτων προβλημάτων θεωρούνταν απρεπής δραστηριότητα (μόνο ο Σωκράτης ενήργησε διαφορετικά). Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα, μείνετε ήσυχοι! Ο Διόφαντος σιώπησε και αυτή η σιωπή κράτησε δεκατέσσερις αιώνες - μέχρι την έλευση της Νέας Εποχής, όταν το ενδιαφέρον για τη διαδικασία της ανθρώπινης σκέψης αναζωπυρώθηκε.

Ποιος δεν φανταζόταν τίποτα στο γύρισμα του 16ου - 17ου αιώνα! Ο ακούραστος υπολογιστής Kepler προσπάθησε να μαντέψει τη σχέση μεταξύ των αποστάσεων από τον Ήλιο στους πλανήτες. Ο Πυθαγόρας απέτυχε. Ο Κέπλερ πέτυχε την επιτυχία αφού έμαθε να ενσωματώνει πολυώνυμα και άλλες απλές συναρτήσεις. Αντίθετα, στον οραματιστή Ντεκάρτ δεν άρεσαν οι μεγάλοι υπολογισμοί, αλλά ήταν ο πρώτος που παρουσίασε όλα τα σημεία ενός επιπέδου ή χώρου ως σύνολα αριθμών. Αυτό το τολμηρό μοντέλο μειώνει οποιοδήποτε γεωμετρικό πρόβλημα σχετικά με τα σχήματα σε κάποιο αλγεβρικό πρόβλημα σχετικά με τις εξισώσεις — και το αντίστροφο. Για παράδειγμα, οι ακέραιες λύσεις της Πυθαγόρειας εξίσωσης αντιστοιχούν σε ακέραια σημεία στην επιφάνεια ενός κώνου. Επιφάνεια αντίστοιχη κυβική εξίσωση X 3 + Y 3 = Z 3, φαίνεται πιο περίπλοκο, είναι γεωμετρικές ιδιότητεςΔεν είπαν τίποτα στον Πιερ Φερμά και έπρεπε να κάνει νέα μονοπάτια μέσα στη ζούγκλα των ακεραίων.

Το 1636, ένα βιβλίο του Διόφαντου έπεσε στα χέρια ενός νεαρού δικηγόρου από την Τουλούζη, μόλις μεταφράστηκε στα λατινικά από το ελληνικό πρωτότυπο, το οποίο είχε διασωθεί κατά λάθος σε κάποιο βυζαντινό αρχείο και μεταφέρθηκε στην Ιταλία από έναν από τους Ρωμαίους φυγάδες την εποχή του το τουρκικό ερείπιο. Διαβάζοντας ένα κομψό επιχείρημα για την Πυθαγόρεια εξίσωση, ο Fermat αναρωτήθηκε: είναι δυνατόν να βρεθεί μια λύση που αποτελείται από τρεις τετράγωνους αριθμούς; Δεν υπάρχουν μικροί αριθμοί αυτού του είδους: είναι εύκολο να ελεγχθεί με ωμή βία. Τι γίνεται με τις μεγάλες αποφάσεις; Χωρίς υπολογιστή, ο Fermat δεν μπορούσε να πραγματοποιήσει ένα αριθμητικό πείραμα. Παρατήρησε όμως ότι για κάθε «μεγάλη» λύση της εξίσωσης X 4 + Y 4 = Z 4 είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια μικρότερη λύση. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των τέταρτων δυνάμεων δύο ακεραίων δεν είναι ποτέ ίσο με την ίδια δύναμη του τρίτου αριθμού! Τι γίνεται με το άθροισμα δύο κύβων;

Εμπνευσμένος από την επιτυχία για τον βαθμό 4, ο Fermat προσπάθησε να τροποποιήσει τη «μέθοδο καθόδου» για τον βαθμό 3 - και τα κατάφερε. Αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να γίνουν δύο μικροί κύβοι από εκείνους τους μεμονωμένους κύβους στους οποίους ήταν διασκορπισμένος ένας μεγάλος κύβος με ολόκληρο μήκος άκρης. Ο θριαμβευτής Φερμά έκανε μια σύντομη σημείωση στο περιθώριο του βιβλίου του Διόφαντου και έστειλε μια επιστολή στο Παρίσι με ένα λεπτομερές μήνυμα για την ανακάλυψή του. Αλλά δεν έλαβε απάντηση - αν και συνήθως οι μαθηματικοί της πρωτεύουσας αντέδρασαν γρήγορα στην τελευταία επιτυχία του μοναχικού συναδέλφου-αντιπάλου τους στην Τουλούζη. Τι συμβαίνει?

Είναι πολύ απλό: στα μέσα του 17ου αιώνα, η αριθμητική έφυγε από τη μόδα. Οι μεγάλες επιτυχίες των Ιταλών αλγεβριστών του 16ου αιώνα (όταν λύθηκαν πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμών 3 και 4) δεν έγιναν η αρχή μιας γενικής επιστημονικής επανάστασης, επειδή δεν επέτρεψαν την επίλυση νέων φωτεινών προβλημάτων σε παρακείμενα πεδία της επιστήμης. Τώρα, αν ο Κέπλερ είχε καταφέρει να μαντέψει τις τροχιές των πλανητών χρησιμοποιώντας καθαρή αριθμητική... Αλλά δυστυχώς, αυτό απαιτούσε μαθηματική ανάλυση. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αναπτυχθεί - μέχρι τον πλήρη θρίαμβο μαθηματικές μεθόδουςστις φυσικές επιστήμες! Αλλά η ανάλυση αναπτύσσεται από τη γεωμετρία, ενώ η αριθμητική παραμένει ένα πεδίο διασκέδασης για τους αδρανείς δικηγόρους και άλλους λάτρεις της αιώνιας επιστήμης των αριθμών και των αριθμών.

Έτσι, οι αριθμητικές επιτυχίες του Fermat αποδείχθηκαν άκαιρες και παρέμειναν ανεκτίμητες. Δεν τον στεναχώρησε αυτό: για τη δόξα ενός μαθηματικού, ήταν αρκετά τα γεγονότα του διαφορικού λογισμού, της αναλυτικής γεωμετρίας και της θεωρίας πιθανοτήτων που του αποκαλύφθηκαν για πρώτη φορά. Όλες αυτές οι ανακαλύψεις του Φερμά μπήκαν αμέσως στο χρυσό ταμείο της νέας ευρωπαϊκής επιστήμης, ενώ η θεωρία αριθμών έσβησε στο παρασκήνιο για άλλα εκατό χρόνια -μέχρι να αναβιώσει από τον Όιλερ.

Αυτός ο «βασιλιάς των μαθηματικών» του 18ου αιώνα ήταν πρωταθλητής σε όλες τις εφαρμογές της ανάλυσης, αλλά δεν παραμέλησε την αριθμητική, αφού οι νέες μέθοδοι ανάλυσης οδήγησαν σε απροσδόκητα γεγονότα σχετικά με τους αριθμούς. Ποιος θα πίστευε ότι το άπειρο άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) είναι ίσο με π 2 /6; Ποιος Έλληνας θα μπορούσε να προβλέψει ότι παρόμοια σειρά θα επέτρεπε την απόδειξη του παραλογισμού του αριθμού π;

Τέτοιες επιτυχίες ανάγκασαν τον Euler να ξαναδιαβάσει προσεκτικά τα σωζόμενα χειρόγραφα του Fermat (ευτυχώς, ο γιος του μεγάλου Γάλλου κατάφερε να τα δημοσιεύσει). Είναι αλήθεια ότι η απόδειξη του "μεγάλου θεωρήματος" για τον βαθμό 3 δεν έχει διατηρηθεί, αλλά ο Euler την αποκατέστησε εύκολα με μία μόνο ένδειξη της "μεθόδου καθόδου" και αμέσως προσπάθησε να μεταφέρει αυτή τη μέθοδο στον επόμενο απλό βαθμό - 5.

Οχι τόσο! Στο σκεπτικό του Euler, εμφανίστηκαν μιγαδικοί αριθμοί, τους οποίους ο Fermat κατάφερε να παραβλέψει (αυτή είναι η συνηθισμένη παρτίδα των ανακαλυπτών). Αλλά η αποσύνθεση των συνόλων μιγαδικοί αριθμοίοι πολλαπλασιαστές είναι ένα λεπτό θέμα. Ακόμη και ο Euler δεν το κατάλαβε πλήρως και άφησε το «πρόβλημα του Fermat» στην άκρη, σπεύδοντας να ολοκληρώσει το κύριο έργο του - το εγχειρίδιο «Fundamentals of Analysis», το οποίο υποτίθεται ότι θα βοηθούσε κάθε ταλαντούχο νεαρό να σταθεί στο ίδιο επίπεδο με τον Leibniz και τον Euler. Η έκδοση του σχολικού βιβλίου ολοκληρώθηκε στην Αγία Πετρούπολη το 1770. Αλλά ο Euler δεν επέστρεψε ποτέ στο θεώρημα του Fermat, όντας σίγουρος ότι όλα όσα άγγιξαν τα χέρια και το μυαλό του δεν θα ξεχνούνταν από τη νέα επιστημονική νεολαία.

Και έτσι έγινε: ο διάδοχος του Euler στη θεωρία αριθμών ήταν ο Γάλλος Adrien Legendre. Στα τέλη του 18ου αιώνα, ολοκλήρωσε την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά για τις δυνάμεις 5 - και παρόλο που απέτυχε στις μεγάλες πρώτες δυνάμεις, συνέταξε ένα άλλο εγχειρίδιο για τη θεωρία αριθμών. Μακάρι οι μικροί του αναγνώστες να ξεπεράσουν τον συγγραφέα, όπως οι αναγνώστες των «Μαθηματικών Αρχών της Φυσικής Φιλοσοφίας» ξεπέρασαν τον μεγάλο Νεύτωνα! Ο Legendre δεν ταίριαζε με τον Newton ή τον Euler, αλλά ανάμεσα στους αναγνώστες του υπήρχαν δύο ιδιοφυΐες: ο Carl Gauss και ο Evariste Galois.

Μια τέτοια υψηλή συγκέντρωση μεγαλοφυΐων διευκόλυνε η Γαλλική Επανάσταση, η οποία διακήρυξε την κρατική λατρεία του Λόγου. Μετά από αυτό, κάθε ταλαντούχος επιστήμονας ένιωθε σαν τον Κολόμβο ή τον Μέγα Αλέξανδρο, ικανός να ανακαλύψει ή να κατακτήσει νέο κόσμο. Πολλοί το κατάφεραν, γι' αυτό τον 19ο αιώνα η επιστημονική και τεχνολογική πρόοδος έγινε ο κύριος μοχλός της ανθρώπινης εξέλιξης και όλοι οι λογικοί άρχοντες (ξεκινώντας από τον Ναπολέοντα) το γνώριζαν.

Ο Γκάους ήταν πολύ κοντά στον Κολόμβο. Αλλά αυτός (όπως ο Νεύτωνας) δεν ήξερε πώς να αιχμαλωτίζει τη φαντασία των ηγεμόνων ή των μαθητών με όμορφες ομιλίες, και ως εκ τούτου περιόρισε τις φιλοδοξίες του στη σφαίρα των επιστημονικών εννοιών. Εδώ μπορούσε να κάνει ό,τι ήθελε. Για παράδειγμα, για κάποιο λόγο το αρχαίο πρόβλημα της τριτομής μιας γωνίας δεν μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα. Με τη βοήθεια μιγαδικών αριθμών που αντιπροσωπεύουν σημεία του επιπέδου, ο Gauss μεταφράζει αυτό το πρόβλημα στη γλώσσα της άλγεβρας - και αποκτά μια γενική θεωρία για τη σκοπιμότητα ορισμένων γεωμετρικών κατασκευών. Έτσι, ταυτόχρονα, εμφανίστηκε μια αυστηρή απόδειξη της αδυναμίας κατασκευής ενός κανονικού 7- ή 9-γωνίου με πυξίδα και χάρακα, και μια μέθοδος κατασκευής ενός κανονικού 17-γωνίου, που είχαν οι σοφότεροι γεωμέτροι της Ελλάδας. δεν το ονειρεύτηκα ποτέ.

Φυσικά, μια τέτοια επιτυχία δεν είναι μάταιη: πρέπει να εφεύρουμε νέες έννοιες που αντανακλούν την ουσία του θέματος. Ο Newton εισήγαγε τρεις τέτοιες έννοιες: fluxion (παράγωγο), fluent (ολοκληρωτικό) και power series. Ήταν αρκετά για να δημιουργήσουν τη μαθηματική ανάλυση και το πρώτο επιστημονικό μοντέλο φυσικό κόσμο, συμπεριλαμβανομένης της μηχανικής και της αστρονομίας. Ο Gauss εισήγαγε επίσης τρεις νέες έννοιες: διανυσματικός χώρος, πεδίο και δακτύλιος. Από αυτά αναπτύχθηκε μια νέα άλγεβρα, η οποία υποτάσσει την ελληνική αριθμητική και τη θεωρία των αριθμητικών συναρτήσεων που δημιούργησε ο Νεύτωνας. Εξακολουθούσε να υφίσταται η υποταγή της λογικής που δημιούργησε ο Αριστοτέλης στην άλγεβρα: τότε θα ήταν δυνατό, χρησιμοποιώντας υπολογισμούς, να αποδειχθεί η συνεπαγόμενη ή μη παραγώγιμη οποιαδήποτε επιστημονική δήλωση από αυτό το σεταξίωμα! Για παράδειγμα, το θεώρημα του Fermat προέρχεται από τα αξιώματα της αριθμητικής ή το αξίωμα του Ευκλείδη για παράλληλες ευθείες από άλλα αξιώματα της επιπεδομετρίας;

Ο Γκάους δεν πρόλαβε να πραγματοποιήσει αυτό το τολμηρό όνειρο - αν και προχώρησε πολύ και μάντεψε την πιθανότητα ύπαρξης εξωτικών (μη αντισταθμιστικών) άλγεβρων. Μόνο ο τολμηρός Ρώσος Νικολάι Λομπατσέφσκι κατάφερε να κατασκευάσει την πρώτη μη Ευκλείδεια γεωμετρία και η πρώτη μη αντισταθμιστική άλγεβρα (Θεωρία ομάδων) κατασκευάστηκε από τον Γάλλο Evariste Galois. Και μόνο πολύ μετά τον θάνατο του Gauss - το 1872 - ο νεαρός Γερμανός Felix Klein συνειδητοποίησε ότι η ποικιλία των πιθανών γεωμετριών μπορεί να έλθει σε αντιστοιχία ένα προς ένα με την ποικιλία των πιθανών άλγεβρων. Με απλά λόγια, κάθε γεωμετρία ορίζεται από την ομάδα συμμετρίας της - ενώ η γενική άλγεβρα μελετά όλες τις πιθανές ομάδες και τις ιδιότητές τους.

Αλλά μια τέτοια κατανόηση της γεωμετρίας και της άλγεβρας ήρθε πολύ αργότερα και η επίθεση στο θεώρημα του Φερμά συνεχίστηκε κατά τη διάρκεια της ζωής του Gauss. Ο ίδιος παραμέλησε το θεώρημα του Φερμά κατ' αρχήν: δεν είναι βασιλική υπόθεση να λύνεις μεμονωμένα προβλήματα που δεν ταιριάζουν στο λαμπρό επιστημονική θεωρία! Αλλά οι μαθητές του Gauss, οπλισμένοι με τη νέα του άλγεβρα και την κλασική ανάλυση του Newton και του Euler, συλλογίστηκαν διαφορετικά. Πρώτον, ο Peter Dirichlet απέδειξε το θεώρημα του Fermat για την ισχύ του 7 χρησιμοποιώντας τον δακτύλιο των μιγαδικών ακεραίων που δημιουργούνται από τις ρίζες αυτής της δύναμης του ενός. Τότε ο Ernst Kummer επέκτεινε τη μέθοδο Dirichlet σε ΟΛΑ πρωταρχικές δυνάμεις(!) - έτσι του φάνηκε εν θερμώ, και θριάμβευσε. Αλλά σύντομα ήρθε μια απογοητευτική συνειδητοποίηση: η απόδειξη είναι άψογη μόνο εάν κάθε στοιχείο του δαχτυλιδιού μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά σε πρωταρχικούς παράγοντες! Για τους συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς, αυτό το γεγονός ήταν γνωστό στον Ευκλείδη, αλλά μόνο ο Γκάους έδωσε μια αυστηρή απόδειξη γι' αυτό. Τι γίνεται με τους μιγαδικούς ακέραιους αριθμούς;

Σύμφωνα με την «αρχή της μεγαλύτερης κακίας», μπορεί και ΠΡΕΠΕΙ να υπάρχει διφορούμενη παραγοντοποίηση! Μόλις ο Kummer έμαθε να υπολογίζει τον βαθμό ασάφειας χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της μαθηματικής ανάλυσης, ανακάλυψε αυτό το βρώμικο κόλπο στο ρινγκ για τη δύναμη του 23. Ο Γκάους δεν είχε χρόνο να μάθει για αυτήν την εκδοχή της εξωτικής αντιμεταθετικής άλγεβρας, αλλά οι μαθητές του Γκάους αναπτύχθηκε μια νέα όμορφη Θεωρία των Ιδανικών στη θέση ενός άλλου βρώμικου κόλπου. Είναι αλήθεια ότι αυτό δεν βοήθησε ιδιαίτερα στην επίλυση του προβλήματος του Fermat: μόνο η φυσική του πολυπλοκότητα έγινε πιο ξεκάθαρη.

Καθ' όλη τη διάρκεια του 19ου αιώνα, αυτό το αρχαίο είδωλο απαιτούσε όλο και περισσότερα θύματα από τους θαυμαστές του με τη μορφή νέων περίπλοκων θεωριών. Δεν είναι περίεργο ότι στις αρχές του εικοστού αιώνα, οι πιστοί αποκαρδιώθηκαν και επαναστάτησαν, απορρίπτοντας το προηγούμενο είδωλό τους. Η λέξη "fermatist" έχει γίνει ένα βρώμικο παρατσούκλι μεταξύ των επαγγελματιών μαθηματικών. Και παρόλο που απονεμήθηκε ένα σημαντικό βραβείο για μια πλήρη απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, οι αιτούντες του ήταν ως επί το πλείστον αδαείς με αυτοπεποίθηση. Οι πιο ισχυροί μαθηματικοί εκείνης της εποχής - ο Πουανκαρέ και ο Χίλμπερτ - απέφευγαν επισήμως αυτό το θέμα.

Το 1900, ο Χίλμπερτ δεν συμπεριέλαβε το θεώρημα του Φερμά στον κατάλογο των είκοσι τριών πιο σημαντικών προβλημάτων που αντιμετώπιζαν τα μαθηματικά στον εικοστό αιώνα. Είναι αλήθεια ότι συμπεριέλαβε στη σειρά τους το γενικό πρόβλημα της επιλυτότητας των Διοφαντινών εξισώσεων. Η υπόδειξη ήταν ξεκάθαρη: ακολουθήστε το παράδειγμα των Gauss και Galois, δημιουργήστε γενικές θεωρίεςνέα μαθηματικά αντικείμενα! Τότε μια ωραία (αλλά όχι προβλέψιμη εκ των προτέρων) μέρα το παλιό αγκάθι θα πέσει από μόνο του.

Έτσι ακριβώς έδρασε ο μεγάλος ρομαντικός Ανρί Πουανκαρέ. Παραμελώντας πολλά «αιώνια» προβλήματα, σε όλη του τη ζωή μελέτησε ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ορισμένων αντικειμένων μαθηματικών ή φυσικής: είτε συναρτήσεις σύνθετης μεταβλητής, είτε τροχιές ουράνιων σωμάτων, είτε αλγεβρικές καμπύλες ή ομαλές ποικιλίες (αυτές είναι πολυδιάστατες γενικεύσεις καμπύλων γραμμών). Το κίνητρο των πράξεών του ήταν απλό: αν δύο διαφορετικά αντικείμενα έχουν παρόμοιες συμμετρίες, σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχει μια εσωτερική σχέση μεταξύ τους, την οποία δεν είμαστε ακόμη σε θέση να κατανοήσουμε! Για παράδειγμα, κάθε μία από τις δισδιάστατες γεωμετρίες (Ευκλείδεια, Λομπατσέφσκι ή Ρίμαν) έχει τη δική της ομάδα συμμετριών που δρα στο επίπεδο. Αλλά τα σημεία του επιπέδου είναι μιγαδικοί αριθμοί: με αυτόν τον τρόπο η δράση οποιουδήποτε γεωμετρική ομάδαμεταφέρονται στον απέραντο κόσμο των πολύπλοκων λειτουργιών. Είναι δυνατό και απαραίτητο να μελετήσουμε τις πιο συμμετρικές από αυτές τις συναρτήσεις: ΑΥΤΟΜΟΡΦΗ (που υπόκεινται στην Ευκλείδεια ομάδα) και ΜΟΝΑΔΩΤΙΚΗ (που υπόκεινται στην ομάδα Lobachevsky)!

Υπάρχουν επίσης ελλειπτικές καμπύλες στο επίπεδο. Δεν συνδέονται σε καμία περίπτωση με την έλλειψη, αλλά δίνονται με εξισώσεις της μορφής Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX και επομένως τέμνονται με οποιαδήποτε ευθεία στο τρεις βαθμούς. Αυτό το γεγονός μας επιτρέπει να εισάγουμε τον πολλαπλασιασμό μεταξύ των σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης - να τη μετατρέψουμε σε ομάδα. Η αλγεβρική δομή αυτής της ομάδας αντανακλά τις γεωμετρικές ιδιότητες της καμπύλης· μήπως καθορίζεται μοναδικά από την ομάδα της; Αυτή η ερώτηση αξίζει να μελετηθεί, αφού για κάποιες καμπύλες η ομάδα που μας ενδιαφέρει αποδεικνύεται σπονδυλωτή, δηλαδή σχετίζεται με τη γεωμετρία Lobachevsky...

Έτσι σκέφτηκε ο Πουανκαρέ, αποπλανώντας τη μαθηματική νεολαία της Ευρώπης, αλλά στις αρχές του εικοστού αιώνα αυτοί οι πειρασμοί δεν οδήγησαν σε φωτεινά θεωρήματα ή υποθέσεις. Αποδείχθηκε διαφορετικά με το κάλεσμα του Χίλμπερτ: να μελετήσει γενικές λύσειςΔιοφαντικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές! Το 1922, ο νεαρός Αμερικανός Lewis Mordell συνέδεσε το σύνολο των λύσεων μιας τέτοιας εξίσωσης (πρόκειται για διανυσματικό χώρο ορισμένης διάστασης) με το γεωμετρικό γένος της μιγαδικής καμπύλης που δίνεται από αυτή την εξίσωση. Ο Mordell κατέληξε στο συμπέρασμα ότι εάν ο βαθμός της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλος (πάνω από δύο), τότε η διάσταση του χώρου λύσης εκφράζεται ως προς το γένος της καμπύλης, και επομένως αυτή η διάσταση είναι ΠΕΡΑΣΜΕΝΗ. Αντίθετα - στη δύναμη του 2, η Πυθαγόρεια εξίσωση έχει μια οικογένεια λύσεων ΑΠΕΙΡΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ!

Φυσικά, ο Mordell είδε μια σύνδεση μεταξύ της υπόθεσής του και του θεωρήματος του Fermat. Εάν γίνει γνωστό ότι για κάθε βαθμό n > 2 ο χώρος των ακεραίων λύσεων στην εξίσωση του Fermat είναι πεπερασμένων διαστάσεων, αυτό θα βοηθήσει να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν καθόλου τέτοιες λύσεις! Αλλά ο Μόρντελ δεν είδε κανέναν τρόπο να αποδείξει την υπόθεσή του - και παρόλο που έζησε μια μακρά ζωή, δεν περίμενε αυτή η υπόθεση να μετατραπεί στο θεώρημα του Φάλτινγκς. Αυτό συνέβη το 1983 - σε μια εντελώς διαφορετική εποχή, μετά τις μεγάλες επιτυχίες της αλγεβρικής τοπολογίας των ποικιλιών.

Ο Πουανκαρέ δημιούργησε αυτή την επιστήμη σαν τυχαία: ήθελε να μάθει τι είναι οι τρισδιάστατες πολλαπλές. Άλλωστε, ο Riemann κατάλαβε τη δομή όλων των κλειστών επιφανειών και έλαβε μια πολύ απλή απάντηση! Εάν σε μια τρισδιάστατη ή πολυδιάστατη περίπτωση δεν υπάρχει τέτοια απάντηση, πρέπει να καταλήξετε σε ένα σύστημα αλγεβρικών αναλλοίωτων της ποικιλίας που καθορίζει τη γεωμετρική της δομή. Είναι καλύτερο αν τέτοια αμετάβλητα είναι στοιχεία κάποιων ομάδων - ανταλλάξιμα ή μη.

Παραδόξως, αυτό το τολμηρό σχέδιο του Πουανκαρέ στέφθηκε με επιτυχία: πραγματοποιήθηκε από το 1950 έως το 1970 χάρη στις προσπάθειες πολλών γεωμέτρων και αλγεβριστών. Μέχρι το 1950, υπήρχε μια αθόρυβη συσσώρευση διαφορετικών μεθόδων για την ταξινόμηση των ποικιλιών και μετά από αυτή την ημερομηνία, μια κρίσιμη μάζα ανθρώπων και ιδεών φαινόταν να συσσωρεύεται και μια έκρηξη ξέσπασε, συγκρίσιμη με την εφεύρεση της μαθηματικής ανάλυσης τον 17ο αιώνα. Αλλά η αναλυτική επανάσταση εκτεινόταν σε ενάμιση αιώνα, καλύπτοντας δημιουργικές βιογραφίεςτέσσερις γενιές μαθηματικών - από τον Newton και τον Leibniz μέχρι τον Fourier και τον Cauchy. Αντίθετα, η τοπολογική επανάσταση του εικοστού αιώνα έγινε μέσα σε είκοσι χρόνια - χάρη στην ένας μεγάλος αριθμόςτους συμμετέχοντες της. Παράλληλα, σχηματίστηκε μια μεγάλη γενιά νέων μαθηματικών με αυτοπεποίθηση, που έμειναν ξαφνικά χωρίς δουλειά στην ιστορική τους πατρίδα.

Στη δεκαετία του εβδομήντα, έσπευσαν στα παρακείμενα πεδία των μαθηματικών και της θεωρητικής φυσικής. Πολλοί έχουν δημιουργήσει τις δικές τους επιστημονικές σχολές σε δεκάδες πανεπιστήμια στην Ευρώπη και την Αμερική. Σήμερα, πολλοί μαθητές διαφορετικών ηλικιών και εθνικοτήτων, με διαφορετικές ικανότητες και κλίσεις, κυκλοφορούν ανάμεσα σε αυτά τα κέντρα και όλοι θέλουν να γίνουν διάσημοι για κάποια ανακάλυψη. Σε αυτό το πανδαιμόνιο αποδείχθηκαν τελικά η εικασία του Mordell και το θεώρημα του Fermat.

Ωστόσο, το πρώτο χελιδόνι, αγνοώντας τη μοίρα του, μεγάλωσε στην Ιαπωνία στα πεινασμένα και άνεργα μεταπολεμικά χρόνια. Το όνομα του χελιδονιού ήταν Yutaka Taniyama. Το 1955, αυτός ο ήρωας έγινε 28 ετών και αποφάσισε (μαζί με τους φίλους Goro Shimura και Takauji Tamagawa) να αναβιώσει τη μαθηματική έρευνα στην Ιαπωνία. Από πού να ξεκινήσω; Φυσικά, με υπέρβαση της απομόνωσης από ξένους συναδέλφους! Έτσι, το 1955, τρεις νεαροί Ιάπωνες οργάνωσαν το πρώτο διεθνές συνέδριο για την άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών στο Τόκιο. Ήταν προφανώς πιο εύκολο να γίνει αυτό στην Ιαπωνία, την οποία είχαν επανεκπαιδεύσει οι Αμερικανοί, παρά στη Ρωσία, παγωμένη από τον Στάλιν...

Ανάμεσα στους επίτιμους καλεσμένους ήταν δύο ήρωες από τη Γαλλία: ο Andre Weil και ο Jean-Pierre Serre. Εδώ οι Ιάπωνες ήταν πολύ τυχεροί: ο Weyl ήταν ο αναγνωρισμένος επικεφαλής των Γάλλων αλγεβριστών και μέλος της ομάδας του Bourbaki, και ο νεαρός Serre έπαιξε παρόμοιο ρόλο μεταξύ των τοπολόγων. Σε έντονες συζητήσεις μαζί τους, τα κεφάλια της Ιαπωνικής νεολαίας ράγισαν, τα μυαλά τους έλιωσαν, αλλά στο τέλος αποκρυσταλλώθηκαν τέτοιες ιδέες και σχέδια που δύσκολα θα μπορούσαν να γεννηθούν σε διαφορετικό περιβάλλον.

Μια μέρα η Taniyama πλησίασε τον Weil με μια ερώτηση σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες και τις αρθρωτές λειτουργίες. Στην αρχή ο Γάλλος δεν καταλάβαινε τίποτα: Η Τανιγιάμα δεν ήταν μάστορας στο να εκφράζεται στα αγγλικά. Τότε η ουσία του θέματος έγινε ξεκάθαρη, αλλά ο Τανιγιάμα δεν μπόρεσε να δώσει στις ελπίδες του μια ακριβή διατύπωση. Το μόνο που μπορούσε να απαντήσει ο Weil στον νεαρό Ιάπωνα ήταν ότι αν ήταν πολύ τυχερός από άποψη έμπνευσης, τότε κάτι χρήσιμο θα προέκυπτε από τις ασαφείς υποθέσεις του. Αλλά μέχρι στιγμής υπάρχουν ελάχιστες ελπίδες για αυτό!

Προφανώς, ο Weil δεν παρατήρησε την ουράνια φωτιά στο βλέμμα της Taniyama. Και υπήρχε φωτιά: φάνηκε ότι για μια στιγμή οι Ιάπωνες κυριεύτηκαν από την αδάμαστη σκέψη του αείμνηστου Πουανκαρέ! Ο Τανιγιάμα πείστηκε ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη δημιουργείται από αρθρωτές συναρτήσεις - πιο συγκεκριμένα, «ομοιομορφώνεται από μια σπονδυλωτή μορφή». Αλίμονο, αυτή ακριβώς η διατύπωση γεννήθηκε πολύ αργότερα - σε συνομιλίες μεταξύ του Taniyama και του φίλου του Shimura. Και τότε ο Τανιγιάμα αυτοκτόνησε σε κρίση κατάθλιψης... Η υπόθεσή του έμεινε χωρίς ιδιοκτήτη: δεν ήταν σαφές πώς να το αποδείξει ή πού να το δοκιμάσει, και επομένως κανείς δεν το πήρε στα σοβαρά για πολύ καιρό. Η πρώτη απάντηση ήρθε μόλις τριάντα χρόνια αργότερα - σχεδόν όπως στην εποχή του Fermat!

Ο πάγος έσπασε το 1983, όταν ο εικοσιεπτάχρονος Γερμανός Γκερντ Φάλτινγκς ανακοίνωσε σε όλο τον κόσμο: Η υπόθεση του Μόρντελ αποδείχθηκε! Οι μαθηματικοί ήταν επιφυλακτικοί, αλλά ο Φάλτινγκς ήταν γνήσιος Γερμανός: δεν υπήρχαν κενά στη μακρά και περίπλοκη απόδειξή του. Απλώς ήρθε η ώρα, τα γεγονότα και οι έννοιες συσσωρεύτηκαν - και τώρα ένας ταλαντούχος αλγεβριστής, βασιζόμενος στα αποτελέσματα δέκα άλλων αλγεβριστών, κατάφερε να λύσει ένα πρόβλημα που περίμενε τον ιδιοκτήτη του για εξήντα χρόνια. Αυτό δεν είναι ασυνήθιστο στα μαθηματικά του εικοστού αιώνα. Αξίζει να θυμηθούμε το πανάρχαιο πρόβλημα του συνεχούς στη θεωρία συνόλων, τις δύο εικασίες του Burnside στη θεωρία ομάδων ή την εικασία Poincaré στην τοπολογία. Επιτέλους, στη θεωρία των αριθμών, ήρθε η ώρα να καρπωθούν οι μακροχρόνιες καλλιέργειες... Ποια κορυφή θα είναι η επόμενη στη σειρά που κατακτούν οι μαθηματικοί; Θα καταρρεύσει πραγματικά το πρόβλημα του Euler, η υπόθεση Riemann ή το θεώρημα του Fermat; Είναι καλό να!

Και δύο χρόνια μετά την αποκάλυψη του Faltings, ένας άλλος εμπνευσμένος μαθηματικός εμφανίστηκε στη Γερμανία. Το όνομά του ήταν Gerhard Frey, και ισχυρίστηκε κάτι περίεργο: ότι το θεώρημα του Fermat προήλθε από την εικασία Taniyama! Δυστυχώς, στο ύφος της παρουσίασης των σκέψεών του, ο Frey θύμιζε περισσότερο τον άτυχο Taniyama παρά τον ξεκάθαρο συμπατριώτη του Faltings. Στη Γερμανία, κανείς δεν καταλάβαινε τον Frey, και πήγε στο εξωτερικό - στην ένδοξη πόλη του Πρίνστον, όπου, μετά τον Αϊνστάιν, είχαν συνηθίσει να μην έχουν τέτοιους επισκέπτες. Δεν είναι τυχαίο ότι ο Barry Mazur, ένας ευέλικτος τοπολόγος και ένας από τους ήρωες της πρόσφατης επίθεσης σε λείες πολλαπλές, έχει χτίσει τη φωλιά του εκεί. Και ένας μαθητής, ο Ken Ribet, μεγάλωσε δίπλα στον Mazur, εξίσου έμπειρος στις περιπλοκές της τοπολογίας και της άλγεβρας, αλλά δεν είχε ακόμη δοξαστεί σε τίποτα.

Όταν άκουσε για πρώτη φορά τις ομιλίες του Frey, ο Ribet αποφάσισε ότι ήταν ανοησία και ψευδοεπιστημονική φαντασία (ο Weil μάλλον αντέδρασε με τον ίδιο τρόπο στις αποκαλύψεις της Taniyama). Αλλά ο Ribet δεν μπορούσε να ξεχάσει αυτή τη «φαντασία» και από καιρό σε καιρό επέστρεφε σε αυτήν στο μυαλό του. Έξι μήνες αργότερα, ο Ribet πίστευε ότι υπήρχε κάτι χρήσιμο στις φαντασιώσεις του Frey και ένα χρόνο αργότερα αποφάσισε ότι ο ίδιος θα μπορούσε σχεδόν να αποδείξει περίεργη υπόθεση Freya. Αλλά κάποιες «τρύπες» παρέμειναν και ο Ριμπέ αποφάσισε να ομολογήσει στο αφεντικό του Μαζούρ. Άκουσε προσεκτικά τον μαθητή και απάντησε ήρεμα: «Ναι, τα κατάφερες όλα! Εδώ πρέπει να εφαρμόσετε τον μετασχηματισμό Ф, εδώ πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα Λήμματα Β και Κ και όλα θα πάρουν μια άψογη μορφή! Έτσι ο Ribet έκανε ένα άλμα από την αφάνεια στην αθανασία, χρησιμοποιώντας έναν καταπέλτη στο πρόσωπο του Frey και του Mazur. Για να είμαστε δίκαιοι, όλοι τους -μαζί με τον αείμνηστο Τανιγιάμα- θα πρέπει να θεωρηθούν ως απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

Αλλά εδώ είναι το πρόβλημα: άντλησαν τη δήλωσή τους από την υπόθεση Taniyama, η οποία από μόνη της δεν έχει αποδειχθεί! Κι αν είναι άπιστη; Οι μαθηματικοί γνώριζαν εδώ και καιρό ότι «όλα πηγάζουν από ένα ψέμα». Χρειάζεται επειγόντως να αποδείξουμε (ή να διαψεύσουμε) την εικασία του Τανιγιάμα - διαφορετικά κάποιος όπως ο Φάλτινγκς θα αποδείξει το θεώρημα του Φερμά με διαφορετικό τρόπο. Θα γίνει ήρωας!

Είναι απίθανο να μάθουμε ποτέ πόσοι νέοι ή έμπειροι αλγεβριστές επιτέθηκαν στο θεώρημα του Fermat μετά την επιτυχία του Faltings ή μετά τη νίκη του Ribet το 1986. Όλοι προσπάθησαν να δουλέψουν κρυφά, ώστε σε περίπτωση αποτυχίας να μην συγκαταλέγονται στην κοινότητα των «ανδρεικέλων»-γεωργών. Είναι γνωστό ότι ο πιο τυχερός από όλους, ο Andrew Wiles από το Cambridge, γεύτηκε τη νίκη μόλις στις αρχές του 1993. Αυτό δεν έκανε τον Γουάιλς τόσο χαρούμενο όσο τον φόβισε: τι θα γινόταν αν ανακαλυφθεί ένα λάθος ή κενό στην απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα; Τότε χάθηκε η επιστημονική του φήμη! Πρέπει να γράψετε προσεκτικά την απόδειξη (αλλά θα είναι πολλές δεκάδες σελίδες!) και να την αφήσετε στην άκρη για έξι μήνες ή ένα χρόνο, ώστε στη συνέχεια να την ξαναδιαβάσετε ήρεμα και σχολαστικά... Τι θα γινόταν όμως αν κατά τη διάρκεια αυτού πότε κάποιος δημοσιεύει την απόδειξη του; Αχ, κόπος...

Ωστόσο, ο Wiles βρήκε έναν διπλό τρόπο για να ελέγξει γρήγορα την απόδειξή του. Πρώτα, πρέπει να εμπιστευτείτε έναν από τους αξιόπιστους συναδέλφους σας φίλους και να του πείτε όλη τη λογική. Από έξω όλα τα λάθη είναι πιο ξεκάθαρα! Δεύτερον, οι έξυπνοι φοιτητές και οι μεταπτυχιακοί φοιτητές πρέπει να διαβάσουν ένα ειδικό μάθημα για αυτό το θέμα: αυτοί οι έξυπνοι τύποι δεν θα χάσουν ούτε ένα λάθος από τον καθηγητή! Απλώς μην τους πείτε τον τελικό στόχο του μαθήματος μέχρι την τελευταία στιγμή - διαφορετικά όλος ο κόσμος θα το μάθει! Και φυσικά, πρέπει να αναζητήσετε ένα τέτοιο κοινό πιο μακριά από το Κέμπριτζ - καλύτερα όχι στην Αγγλία, αλλά στην Αμερική... Τι καλύτερο από το μακρινό Πρίνστον;

Ο Wiles κατευθύνθηκε εκεί την άνοιξη του 1993. Ο ασθενής φίλος του Niklas Katz, αφού άκουσε τη μακροσκελή αναφορά του Wiles, ανακάλυψε μια σειρά από κενά, αλλά όλα διορθώθηκαν εύκολα. Αλλά οι μεταπτυχιακοί φοιτητές του Πρίνστον σύντομα έφυγαν από το ειδικό μάθημα του Γουάιλς, μη θέλοντας να ακολουθήσουν την ιδιότροπη σκέψη του λέκτορα, που τους οδηγούσε στο Θεό ξέρει πού. Μετά από μια τέτοια (όχι ιδιαίτερα βαθιά) εξέταση του έργου του, ο Wiles αποφάσισε ότι ήρθε η ώρα να αποκαλύψει ένα μεγάλο θαύμα στον κόσμο.

Τον Ιούνιο του 1993, ένα άλλο συνέδριο αφιερωμένο στη «θεωρία Iwasawa», έναν δημοφιλή κλάδο της θεωρίας αριθμών, πραγματοποιήθηκε στο Cambridge. Ο Wiles αποφάσισε να πει την απόδειξή του για την εικασία του Taniyama, χωρίς να το ανακοινώσει κύριο αποτέλεσμαμέχρι το τέλος. Το ρεπορτάζ κράτησε πολύ, αλλά ήταν επιτυχές· οι δημοσιογράφοι άρχισαν σταδιακά να συρρέουν, διαισθανόμενοι κάτι. Τελικά, βροντή χτύπησε: Το θεώρημα του Φερμά αποδείχθηκε! Η γενική αγαλλίαση δεν επισκιάστηκε από καμία αμφιβολία: όλα έμοιαζαν να είναι ξεκάθαρα... Αλλά δύο μήνες αργότερα, ο Κατς, έχοντας διαβάσει το τελευταίο κείμενο του Γουάιλς, παρατήρησε μια άλλη τρύπα σε αυτό. Μια ορισμένη μετάβαση στη συλλογιστική βασίστηκε στο «σύστημα Euler» - αλλά αυτό που κατασκεύασε ο Wiles δεν ήταν ένα τέτοιο σύστημα!

Τα Wiles ελέγχθηκαν κώλυμακαι κατάλαβε ότι έκανε λάθος εδώ. Ακόμα χειρότερα: δεν είναι ξεκάθαρο πώς να αντικαταστήσετε τον εσφαλμένο συλλογισμό! Μετά από αυτό, άρχισαν οι πιο σκοτεινοί μήνες της ζωής του Wiles. Προηγουμένως, συνέθεσε ελεύθερα μια άνευ προηγουμένου απόδειξη από διαθέσιμο υλικό. Τώρα είναι δεμένος με ένα στενό και ξεκάθαρο έργο - χωρίς σιγουριά ότι έχει λύση και ότι θα μπορέσει να τη βρει στο άμεσο χρονικό διάστημα. Πρόσφατα, ο Frey δεν μπόρεσε να αντισταθεί στον ίδιο αγώνα - και τώρα το όνομά του συγκαλύφθηκε από το όνομα του επιτυχημένου Ribet, αν και η εικασία του Frey αποδείχθηκε σωστή. Τι θα γίνει με την εικασία ΜΟΥ και το όνομα ΜΟΥ;

Αυτή η σκληρή δουλειά κράτησε ακριβώς ένα χρόνο. Τον Σεπτέμβριο του 1994, ο Wiles ήταν έτοιμος να παραδεχτεί την ήττα και να αφήσει την υπόθεση Taniyama σε πιο επιτυχημένους διαδόχους. Έχοντας πάρει αυτή την απόφαση, άρχισε να ξαναδιαβάζει σιγά σιγά την απόδειξή του - από την αρχή μέχρι το τέλος, ακούγοντας τον ρυθμό του συλλογισμού, ξαναζώντας την ευχαρίστηση των επιτυχημένων ευρημάτων. Έχοντας φτάσει στο "καταραμένο" μέρος, ο Wiles, ωστόσο, δεν άκουσε διανοητικά ένα ψεύτικο σημείωμα. Ήταν πραγματικά άψογος ο συλλογισμός του και το λάθος προέκυψε μόνο κατά τη ΛΕΚΤΙΚΗ περιγραφή της νοητικής εικόνας; Αν δεν υπάρχει «σύστημα Eulerian» εδώ, τότε τι κρύβεται εδώ;

Ξαφνικά ήρθε στο μυαλό μια απλή σκέψη: το «σύστημα του Eulerian» δεν λειτουργεί εκεί όπου εφαρμόζεται η θεωρία του Iwasawa. Γιατί να μην εφαρμόσετε αυτή τη θεωρία άμεσα - ευτυχώς, ο ίδιος ο Wiles είναι κοντά και εξοικειωμένος με αυτήν; Και γιατί δεν δοκίμασε αυτή την προσέγγιση από την αρχή, αλλά παρασύρθηκε από το όραμα κάποιου άλλου για το πρόβλημα; Ο Γουάιλς δεν μπορούσε πλέον να θυμηθεί αυτές τις λεπτομέρειες - και δεν ωφελούσε. Πραγματοποίησε τον απαραίτητο συλλογισμό στο πλαίσιο της θεωρίας του Iwasawa και όλα λειτούργησαν σε μισή ώρα! Έτσι, με καθυστέρηση ενός έτους, κλείστηκε και το τελευταίο κενό στην απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα. Το τελικό κείμενο έμεινε να κομματιαστεί από μια ομάδα κριτικών από ένα διάσημο μαθηματικό περιοδικό· ένα χρόνο αργότερα δήλωσαν ότι δεν υπήρχαν πλέον σφάλματα. Έτσι, το 1995, η τελευταία υπόθεση του Φερμά πέθανε στο τριακόσιο εξηκοστό έτος της ζωής του, μετατρέποντας σε ένα αποδεδειγμένο θεώρημα που αναπόφευκτα θα συμπεριληφθεί στα εγχειρίδια της θεωρίας αριθμών.

Συνοψίζοντας τη φασαρία τριών αιώνων γύρω από το θεώρημα του Φερμά, πρέπει να βγάλουμε ένα περίεργο συμπέρασμα: αυτό το ηρωικό έπος μπορεί να μην είχε συμβεί! Πράγματι, το Πυθαγόρειο θεώρημα εκφράζει μια απλή και σημαντική σύνδεση μεταξύ της οπτικής φυσικά αντικείμενα- μήκη τμημάτων. Αλλά το ίδιο δεν μπορεί να ειπωθεί για το θεώρημα του Fermat. Μοιάζει περισσότερο με μια πολιτιστική υπερκατασκευή σε ένα επιστημονικό υπόστρωμα - σαν να φτάσεις στον Βόρειο Πόλο της Γης ή να πετάξεις στη Σελήνη. Ας θυμηθούμε ότι και τα δύο αυτά κατορθώματα τραγουδήθηκαν από συγγραφείς πολύ πριν από την ολοκλήρωσή τους - στην αρχαιότητα, μετά την εμφάνιση των Στοιχείων του Ευκλείδη, αλλά πριν από την εμφάνιση της Αριθμητικής του Διόφαντου. Αυτό σημαίνει ότι τότε προέκυψε μια κοινωνική ανάγκη για πνευματικά κατορθώματα αυτού του είδους -τουλάχιστον φανταστικά! Παλαιότερα, οι Έλληνες είχαν αρκετά ποιήματα του Ομήρου, όπως και οι Γάλλοι είχαν αρκετά θρησκευτικά χόμπι εκατό χρόνια πριν από τον Φερμά. Στη συνέχεια, όμως, τα θρησκευτικά πάθη υποχώρησαν - και η επιστήμη στάθηκε δίπλα τους.

Στη Ρωσία, τέτοιες διαδικασίες ξεκίνησαν πριν από ενάμιση χρόνια, όταν ο Τουργκένιεφ έβαλε τον Γιεβγκένι Μπαζάροφ στο ίδιο επίπεδο με τον Γιεβγκένι Ονέγκιν. Είναι αλήθεια ότι ο συγγραφέας Turgenev κατανόησε ελάχιστα τα κίνητρα των ενεργειών του επιστήμονα Bazarov και δεν τόλμησε να τα τραγουδήσει, αλλά αυτό έγινε σύντομα από τον επιστήμονα Ivan Sechenov και τον πεφωτισμένο δημοσιογράφο Jules Verne. Μια αυθόρμητη επιστημονική και τεχνολογική επανάσταση χρειάζεται ένα πολιτιστικό κέλυφος για να διεισδύσει στο μυαλό των περισσότερων ανθρώπων, και έτσι η επιστημονική φαντασία εμφανίζεται πρώτη, ακολουθούμενη από τη δημοφιλή επιστημονική λογοτεχνία (συμπεριλαμβανομένου του περιοδικού «Η γνώση είναι δύναμη»).

Ταυτόχρονα, ένα συγκεκριμένο επιστημονικό θέμα δεν είναι καθόλου σημαντικό για το ευρύ κοινό και δεν είναι πολύ σημαντικό ακόμη και για τους ήρωες που ερμηνεύουν. Έτσι, έχοντας ακούσει για το επίτευγμα του Βόρειου Πόλου από τον Peary και τον Cook, ο Amundsen άλλαξε αμέσως τον στόχο της ήδη προετοιμασμένης αποστολής του - και σύντομα έφτασε στον Νότιο Πόλο, μπροστά από τον Scott κατά ένα μήνα. Αργότερα, η επιτυχημένη πτήση του Γιούρι Γκαγκάριν γύρω από τη Γη ανάγκασε τον Πρόεδρο Κένεντι να αλλάξει τον προηγούμενο στόχο του αμερικανικού διαστημικού προγράμματος σε έναν πιο ακριβό, αλλά πολύ πιο εντυπωσιακό: την προσγείωση ανθρώπων στη Σελήνη.

Ακόμη νωρίτερα, ο διορατικός Χίλμπερτ απάντησε στην αφελή ερώτηση των μαθητών: «Η λύση ποιου επιστημονικού προβλήματος θα ήταν πιο χρήσιμη τώρα»; - απάντησε με ένα αστείο: «Πιάσε μια μύγα στην μακρινή πλευρά της Σελήνης!» Στην μπερδεμένη ερώτηση: "Γιατί χρειάζεται αυτό;" - ήρθε η ξεκάθαρη απάντηση: «Κανείς δεν χρειάζεται ΑΥΤΟ! Σκεφτείτε όμως αυτά επιστημονικές μεθόδουςκαι τα τεχνικά μέσα που θα πρέπει να αναπτύξουμε για να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα - και πόσα άλλα όμορφα προβλήματα θα λύσουμε στην πορεία!

Αυτό ακριβώς συνέβη με το θεώρημα του Φερμά. Ο Όιλερ θα μπορούσε κάλλιστα να το είχε χάσει.

Σε αυτή την περίπτωση, κάποιο άλλο πρόβλημα θα γινόταν το είδωλο των μαθηματικών - ίσως και από τη θεωρία αριθμών. Για παράδειγμα, το πρόβλημα του Ερατοσθένη: υπάρχει πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός δίδυμων πρώτων αριθμών (όπως 11 και 13, 17 και 19 κ.ο.κ.); Ή το πρόβλημα του Euler: είναι οτιδήποτε Ζυγός αριθμόςείναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών; Ή: υπάρχει αλγεβρική σχέση μεταξύ των αριθμών π και ε; Αυτά τα τρία προβλήματα δεν έχουν λυθεί ακόμη, αν και στον εικοστό αιώνα οι μαθηματικοί έχουν έρθει αισθητά πιο κοντά στην κατανόηση της ουσίας τους. Αλλά αυτός ο αιώνας δημιούργησε επίσης πολλά νέα, όχι λιγότερο ενδιαφέροντα προβλήματα, ειδικά στις διασταυρώσεις των μαθηματικών με τη φυσική και άλλους κλάδους της φυσικής επιστήμης.

Πίσω στο 1900, ο Hilbert εντόπισε ένα από αυτά: να δημιουργήσει ένα πλήρες σύστημα αξιωμάτων της μαθηματικής φυσικής! Εκατό χρόνια αργότερα, αυτό το πρόβλημα απέχει πολύ από το να λυθεί, έστω και μόνο επειδή το οπλοστάσιο των μαθηματικών εργαλείων στη φυσική αυξάνεται σταθερά και δεν έχουν όλα μια αυστηρή αιτιολόγηση. Αλλά μετά το 1970, η θεωρητική φυσική χωρίστηκε σε δύο κλάδους. Ο ένας (κλασικός) από την εποχή του Νεύτωνα ασχολείται με τη μοντελοποίηση και την πρόβλεψη ΒΙΩΣΙΜΩΝ διαδικασιών, ο άλλος (νέος) προσπαθεί να επισημοποιήσει την αλληλεπίδραση ΑΣΤΑΘΕΡΩΝ διαδικασιών και τρόπους ελέγχου τους. Είναι σαφές ότι αυτοί οι δύο κλάδοι της φυσικής πρέπει να αξιωματοποιηθούν χωριστά.

Το πρώτο από αυτά μάλλον θα αντιμετωπιστεί σε είκοσι ή πενήντα χρόνια...

Και τι λείπει από τον δεύτερο κλάδο της φυσικής - αυτόν που είναι υπεύθυνος για όλα τα είδη της εξέλιξης (συμπεριλαμβανομένων των περίεργων φράκταλ και των περίεργων ελκυστών, της οικολογίας των βιοκαινώσεων και της θεωρίας του πάθους του Gumilyov); Είναι απίθανο να το καταλάβουμε αυτό σύντομα. Όμως η λατρεία των επιστημόνων στο νέο είδωλο έχει ήδη γίνει μαζικό φαινόμενο. Πιθανώς, εδώ θα εκτυλιχθεί ένα έπος, συγκρίσιμο με τη βιογραφία τριών αιώνων του θεωρήματος του Φερμά. Έτσι, στις διασταυρώσεις διαφορετικών επιστημών γεννιούνται νέα είδωλα - παρόμοια με τα θρησκευτικά, αλλά πιο πολύπλοκα και δυναμικά...

Απ' ό,τι φαίνεται, ένας άνθρωπος δεν μπορεί να παραμείνει άνθρωπος χωρίς να ανατρέπει κατά καιρούς παλιά είδωλα και να δημιουργεί νέα -με πόνο και με χαρά! Ο Πιερ Φερμά είχε την τύχη να βρεθεί σε μια μοιραία στιγμή κοντά στο hot spot της γέννησης ενός νέου ειδώλου - και κατάφερε να αφήσει το αποτύπωμα της προσωπικότητάς του στο νεογέννητο. Μπορεί κανείς να ζηλέψει μια τέτοια μοίρα, και δεν είναι αμαρτία να τη μιμηθεί.

Σεργκέι Σμιρνόφ
"Η γνώση είναι δύναμη"

Δεν υπάρχουν πολλοί άνθρωποι στον κόσμο που δεν έχουν ακούσει ποτέ για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά - ίσως αυτό είναι το μόνο μαθηματικό πρόβλημα, που έγινε τόσο ευρέως γνωστό και έγινε πραγματικός θρύλος. Αναφέρεται σε πολλά βιβλία και ταινίες, και το κύριο πλαίσιο σχεδόν όλων των αναφορών είναι η αδυναμία απόδειξης του θεωρήματος.

Ναι, αυτό το θεώρημα είναι πολύ γνωστό και, κατά μία έννοια, έχει γίνει ένα «είδωλο» που λατρεύεται από ερασιτέχνες και επαγγελματίες μαθηματικούς, αλλά λίγοι γνωρίζουν ότι η απόδειξή του βρέθηκε και αυτό συνέβη το 1995. Πρώτα όμως πρώτα.

Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (συχνά αποκαλούμενο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), που διατυπώθηκε το 1637 από τον λαμπρό Γάλλο μαθηματικό Πιερ Φερμά, είναι πολύ απλό στην ουσία και κατανοητό σε οποιονδήποτε έχει δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέει ότι ο τύπος a στη δύναμη του n + b στη δύναμη του n = c στη δύναμη του n δεν έχει φυσικές (δηλαδή, όχι κλασματικές) λύσεις για n > 2. Όλα φαίνονται απλά και ξεκάθαρα, αλλά το Οι καλύτεροι μαθηματικοί και οι απλοί ερασιτέχνες αγωνίστηκαν στην αναζήτηση μιας λύσης για περισσότερους από τρεισήμισι αιώνες.

Γιατί είναι τόσο διάσημη; Τώρα θα μάθουμε...

Υπάρχουν πολλά αποδεδειγμένα, αναπόδεικτα και αναπόδεικτα ακόμη θεωρήματα; Το θέμα εδώ είναι ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αντιπροσωπεύει τη μεγαλύτερη αντίθεση μεταξύ της απλότητας της διατύπωσης και της πολυπλοκότητας της απόδειξης. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι ένα απίστευτα δύσκολο εγχείρημα, και ωστόσο η διατύπωσή του μπορεί να γίνει κατανοητή από οποιονδήποτε με επίπεδο 5ης τάξης. Λύκειο, αλλά η απόδειξη δεν είναι καν για κάθε επαγγελματία μαθηματικό. Ούτε στη φυσική, ούτε στη χημεία, ούτε στη βιολογία, ούτε στα μαθηματικά, δεν υπάρχει ένα μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να διατυπωθεί τόσο απλά, αλλά να έμεινε άλυτο για τόσο καιρό. 2. Από τι αποτελείται;

Ας ξεκινήσουμε με τα πυθαγόρεια παντελόνια Η διατύπωση είναι πραγματικά απλή - με την πρώτη ματιά. Όπως γνωρίζουμε από την παιδική ηλικία, «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές». Το πρόβλημα φαίνεται τόσο απλό γιατί βασίστηκε σε μια μαθηματική πρόταση που όλοι γνωρίζουν - το Πυθαγόρειο θεώρημα: σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνοένα τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Τον 5ο αιώνα π.Χ. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια αδελφότητα. Οι Πυθαγόρειοι, μεταξύ άλλων, μελέτησαν ακέραιες τριπλέτες που ικανοποιούσαν την ισότητα x²+y²=z². Απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες και έλαβαν γενικούς τύπους για την εύρεση τους. Μάλλον προσπάθησαν να ψάξουν για τρία ή περισσότερα υψηλούς βαθμούς. Πεπεισμένοι ότι αυτό δεν λειτούργησε, οι Πυθαγόρειοι εγκατέλειψαν τις άχρηστες προσπάθειές τους. Τα μέλη της αδελφότητας ήταν περισσότερο φιλόσοφοι και αισθητιστές παρά μαθηματικοί.

Δηλαδή, είναι εύκολο να επιλέξετε ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν απόλυτα την ισότητα x²+y²=z²

Ξεκινώντας από το 3, 4, 5 - πράγματι, ένας κατώτερος μαθητής καταλαβαίνει ότι 9 + 16 = 25.

Ή 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Υπέροχα.

Άρα, αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ είναι. Εδώ αρχίζει το κόλπο. Η απλότητα είναι εμφανής, γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί όχι η παρουσία κάτι, αλλά, αντίθετα, η απουσία του. Όταν χρειάζεται να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση, μπορείτε και πρέπει απλώς να παρουσιάσετε αυτήν τη λύση.

Η απόδειξη της απουσίας είναι πιο δύσκολη: για παράδειγμα, κάποιος λέει: η τάδε εξίσωση δεν έχει λύσεις. Να τον βάλω σε μια λακκούβα; εύκολο: μπαμ - και εδώ είναι, η λύση! (δώστε λύση). Και αυτό είναι όλο, ο αντίπαλος ηττήθηκε. Πώς να αποδείξετε την απουσία;

Πείτε: "Δεν έχω βρει τέτοιες λύσεις"; Ή μήπως δεν έδειχνες καλά; Τι θα συμβεί αν υπάρχουν, μόνο πολύ μεγάλα, πολύ μεγάλα, έτσι ώστε ακόμη και ένας υπερ-ισχυρός υπολογιστής να μην έχει αρκετή δύναμη; Αυτό είναι το δύσκολο.

Αυτό μπορεί να φανεί οπτικά ως εξής: εάν πάρετε δύο τετράγωνα κατάλληλων μεγεθών και τα αποσυναρμολογήσετε σε τετράγωνα μονάδων, τότε από αυτό το μάτσο τετράγωνων μονάδων θα έχετε ένα τρίτο τετράγωνο (Εικ. 2):


Αλλά ας κάνουμε το ίδιο με την τρίτη διάσταση (Εικ. 3) - δεν λειτουργεί. Δεν υπάρχουν αρκετοί κύβοι ή έχουν απομείνει επιπλέον:

Αλλά ο μαθηματικός του 17ου αιώνα, Γάλλος Pierre de Fermat, εξερεύνησε με ενθουσιασμό γενική εξίσωση x n +y n =z n . Και τελικά, κατέληξα: για n>2 δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις. Η απόδειξη του Φερμά έχει χαθεί ανεπανόρθωτα. Τα χειρόγραφα καίγονται! Το μόνο που μένει είναι η παρατήρησή του στην Αριθμητική του Διόφαντου: «Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά τα περιθώρια εδώ είναι πολύ στενά για να τη συγκρατήσουν».

Στην πραγματικότητα, ένα θεώρημα χωρίς απόδειξη ονομάζεται υπόθεση. Αλλά ο Fermat έχει τη φήμη ότι δεν κάνει ποτέ λάθη. Ακόμα κι αν δεν άφησε στοιχεία για δήλωση, στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε. Επιπλέον, ο Fermat απέδειξε τη διατριβή του για n=4. Έτσι, η υπόθεση του Γάλλου μαθηματικού έμεινε στην ιστορία ως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Μετά τον Fermat, τόσο μεγάλα μυαλά όπως ο Leonhard Euler εργάστηκαν στην αναζήτηση μιας απόδειξης (το 1770 πρότεινε μια λύση για το n = 3),

Adrien Legendre και Johann Dirichlet (αυτοί οι επιστήμονες βρήκαν από κοινού την απόδειξη για n = 5 το 1825), Gabriel Lamé (που βρήκε την απόδειξη για n = 7) και πολλοί άλλοι. Στα μέσα της δεκαετίας του 1980 έγινε σαφές ότι επιστημονικό κόσμοείναι καθ' οδόν προς την τελική λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, αλλά μόλις το 1993 οι μαθηματικοί είδαν και πίστεψαν ότι το έπος τριών αιώνων της αναζήτησης μιας απόδειξης του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά είχε ουσιαστικά τελειώσει.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα του Fermat μόνο για απλά n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Για το σύνθετο n, η απόδειξη παραμένει έγκυρη. Υπάρχουν όμως άπειροι πρώτοι αριθμοί...

Το 1825, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Sophie Germain, οι γυναίκες μαθηματικοί, η Dirichlet και η Legendre απέδειξαν ανεξάρτητα το θεώρημα για n=5. Το 1839, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Γάλλος Gabriel Lame έδειξε την αλήθεια του θεωρήματος για n=7. Σταδιακά το θεώρημα αποδείχθηκε για σχεδόν όλα τα n λιγότερο από εκατό.

Τέλος, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer, σε μια λαμπρή μελέτη, έδειξε ότι το θεώρημα γενικά δεν μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των μαθηματικών του 19ου αιώνα. Το Βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, που ιδρύθηκε το 1847 για την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, παρέμεινε αδιάθετο.

Το 1907, ο πλούσιος γερμανός βιομήχανος Paul Wolfskehl αποφάσισε να αυτοκτονήσει εξαιτίας της αγάπης που δεν ανταποκρίθηκε. Σαν γνήσιος Γερμανός, όρισε την ημερομηνία και την ώρα της αυτοκτονίας: ακριβώς τα μεσάνυχτα. Την τελευταία μέρα έκανε διαθήκη και έγραψε γράμματα σε φίλους και συγγενείς. Τα πράγματα τελείωσαν πριν τα μεσάνυχτα. Πρέπει να πούμε ότι ο Παύλος ενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά. Μη έχοντας τίποτα άλλο να κάνει, πήγε στη βιβλιοθήκη και άρχισε να διαβάζει το διάσημο άρθρο του Kummer. Ξαφνικά του φάνηκε ότι ο Κούμερ είχε κάνει λάθος στο σκεπτικό του. Ο Wolfskel άρχισε να αναλύει αυτό το μέρος του άρθρου με ένα μολύβι στα χέρια του. Πέρασαν τα μεσάνυχτα, ήρθε το πρωί. Το κενό στην απόδειξη έχει καλυφθεί. Και ο ίδιος ο λόγος της αυτοκτονίας φαινόταν πλέον εντελώς γελοίος. Ο Παύλος έσκισε τις αποχαιρετιστήριες επιστολές του και ξαναέγραψε τη διαθήκη του.

Σύντομα πέθανε από φυσικά αίτια. Οι κληρονόμοι έμειναν αρκετά έκπληκτοι: 100.000 μάρκα (πάνω από 1.000.000 τρέχουσες λίρες στερλίνες) μεταφέρθηκαν στον λογαριασμό της Βασιλικής Επιστημονικής Εταιρείας του Γκέτινγκεν, η οποία την ίδια χρονιά ανακοίνωσε διαγωνισμό για το Βραβείο Wolfskehl. 100.000 μόρια απονεμήθηκαν στο άτομο που απέδειξε το θεώρημα του Φερμά. Δεν απονεμήθηκε ούτε ένα pfennig για την αντίκρουση του θεωρήματος...

Οι περισσότεροι επαγγελματίες μαθηματικοί θεώρησαν την αναζήτηση μιας απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά μια απελπιστική εργασία και αρνήθηκαν αποφασιστικά να σπαταλήσουν χρόνο σε μια τόσο άχρηστη άσκηση. Αλλά οι ερασιτέχνες είχαν μια έκρηξη. Λίγες εβδομάδες μετά την ανακοίνωση, μια χιονοστιβάδα «αποδεικτικών στοιχείων» έπληξε το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ο καθηγητής E.M. Landau, του οποίου η ευθύνη ήταν να αναλύσει τα αποδεικτικά στοιχεία που στάλθηκαν, μοίρασε κάρτες στους μαθητές του:

Αγαπητός. . . . . . . .

Σας ευχαριστώ που μου στείλατε το χειρόγραφο με την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το πρώτο σφάλμα βρίσκεται στη σελίδα ... στη σειρά... . Εξαιτίας αυτού, ολόκληρη η απόδειξη χάνει την ισχύ της.
Καθηγητής E. M. Landau

Το 1963, ο Paul Cohen, βασιζόμενος στα ευρήματα του Gödel, απέδειξε την άλυτη κατάσταση ενός από τα είκοσι τρία προβλήματα του Hilbert - την υπόθεση του συνεχούς. Τι κι αν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι επίσης αδιευκρίνιστο;! Αλλά οι αληθινοί φανατικοί του Μεγάλου Θεωρήματος δεν απογοητεύτηκαν καθόλου. Η έλευση των υπολογιστών έδωσε ξαφνικά στους μαθηματικούς νέα μέθοδοςαπόδειξη. Μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, ομάδες προγραμματιστών και μαθηματικών απέδειξαν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά για όλες τις τιμές του n έως το 500, μετά μέχρι το 1.000 και αργότερα μέχρι το 10.000.

Στη δεκαετία του 1980, ο Samuel Wagstaff αύξησε το όριο στις 25.000, και στη δεκαετία του 1990, οι μαθηματικοί δήλωσαν ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat ήταν αληθές για όλες τις τιμές n έως 4 εκατομμύρια. Αλλά αν αφαιρέσετε έστω και ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύριο από το άπειρο, δεν θα γίνει μικρότερο. Οι μαθηματικοί δεν πείθονται από τις στατιστικές. Το να αποδείξεις το Μεγάλο Θεώρημα σήμαινε να το αποδείξεις για ΟΛΑ τα n που πήγαιναν στο άπειρο.

Το 1954, δύο νεαροί Ιάπωνες φίλοι μαθηματικοί άρχισαν να ερευνούν τις αρθρωτές μορφές. Αυτές οι φόρμες δημιουργούν σειρές αριθμών, ο καθένας με τη δική του σειρά. Κατά τύχη, η Taniyama συνέκρινε αυτές τις σειρές με σειρές που δημιουργούνται από ελλειπτικές εξισώσεις. Ταίριαξαν! Αλλά οι αρθρωτές μορφές είναι γεωμετρικά αντικείμενα και οι ελλειπτικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές. Δεν έχει βρεθεί ποτέ σύνδεση μεταξύ τόσο διαφορετικών αντικειμένων.

Ωστόσο, μετά από προσεκτική δοκιμή, οι φίλοι διατύπωσαν μια υπόθεση: κάθε ελλειπτική εξίσωση έχει ένα δίδυμο - μια σπονδυλωτή μορφή και το αντίστροφο. Ήταν αυτή η υπόθεση που έγινε το θεμέλιο μιας ολόκληρης κατεύθυνσης στα μαθηματικά, αλλά μέχρι να αποδειχτεί η υπόθεση Taniyama-Shimura, ολόκληρο το κτίριο μπορούσε να καταρρεύσει ανά πάσα στιγμή.

Το 1984, ο Gerhard Frey έδειξε ότι μια λύση στην εξίσωση του Fermat, εάν υπάρχει, μπορεί να συμπεριληφθεί σε κάποια ελλειπτική εξίσωση. Δύο χρόνια αργότερα, ο καθηγητής Ken Ribet απέδειξε ότι αυτή η υποθετική εξίσωση δεν θα μπορούσε να έχει αντίστοιχο στον αρθρωτό κόσμο. Από εδώ και πέρα, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ήταν άρρηκτα συνδεδεμένο με την εικασία Taniyama-Shimura. Έχοντας αποδείξει ότι οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει ελλειπτική εξίσωση με λύση της εξίσωσης του Φερμά και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα αποδεικνυόταν αμέσως. Αλλά για τριάντα χρόνια δεν ήταν δυνατό να αποδειχθεί η υπόθεση Taniyama-Shimura και υπήρχαν όλο και λιγότερες ελπίδες για επιτυχία.

Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. Όταν έμαθε για το Μεγάλο Θεώρημα, συνειδητοποίησε ότι δεν μπορούσε να το παρατήσει. Ως μαθητής, φοιτητής και μεταπτυχιακός φοιτητής, προετοιμάστηκε για αυτό το έργο.

Έχοντας μάθει για τα ευρήματα του Ken Ribet, ο Wiles βυθίστηκε αδιάκοπα στην απόδειξη της υπόθεσης Taniyama-Shimura. Αποφάσισε να εργαστεί σε πλήρη απομόνωση και μυστικότητα. «Συνειδητοποίησα ότι όλα όσα είχαν να κάνουν με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά προκαλούν υπερβολικό ενδιαφέρον... Πάρα πολλοί θεατές προφανώς παρεμβαίνουν στην επίτευξη του στόχου». Επτά χρόνια σκληρής δουλειάς απέδωσαν, ο Γουάιλς ολοκλήρωσε τελικά την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα.

Το 1993, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles παρουσίασε στον κόσμο την απόδειξή του για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ο Wiles διάβασε τη συγκλονιστική εργασία του σε ένα συνέδριο στο Ινστιτούτο Sir Isaac Newton στο Cambridge.), έργο για το οποίο διήρκεσε περισσότερα από επτά χρόνια.

Ενώ η δημοσιότητα συνεχιζόταν στον Τύπο, άρχισε σοβαρή δουλειά για την επαλήθευση των αποδεικτικών στοιχείων. Κάθε αποδεικτικό στοιχείο πρέπει να εξετάζεται προσεκτικά προτού τα στοιχεία θεωρηθούν αυστηρά και ακριβή. Ο Wiles πέρασε ένα ανήσυχο καλοκαίρι περιμένοντας σχόλια από τους κριτικούς, ελπίζοντας ότι θα μπορούσε να κερδίσει την έγκρισή τους. Στα τέλη Αυγούστου, οι ειδικοί διαπίστωσαν ότι η απόφαση ήταν ανεπαρκώς τεκμηριωμένη.

Αποδείχθηκε ότι αυτή η απόφαση περιέχει ένα χονδροειδές λάθος, αν και σε γενικές γραμμές είναι σωστή. Ο Wiles δεν το έβαλε κάτω, κάλεσε τη βοήθεια του διάσημου ειδικού στη θεωρία αριθμών Richard Taylor και ήδη το 1994 δημοσίευσαν μια διορθωμένη και διευρυμένη απόδειξη του θεωρήματος. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι αυτή η εργασία κατέλαβε έως και 130 (!) σελίδες στο μαθηματικό περιοδικό «Annals of Mathematics». Αλλά η ιστορία δεν τελείωσε ούτε εκεί - το τελικό σημείο έφτασε μόνο το επόμενο έτος, το 1995, όταν δημοσιεύτηκε η τελική και «ιδανική», από μαθηματική άποψη, έκδοση της απόδειξης.

«...μισό λεπτό μετά την έναρξη του εορταστικού δείπνου με την ευκαιρία των γενεθλίων της, παρουσίασα στη Νάντια το χειρόγραφο της πλήρους απόδειξης» (Andrew Wales). Δεν έχω πει ακόμα ότι οι μαθηματικοί είναι περίεργοι άνθρωποι;

Αυτή τη φορά δεν υπήρχε καμία αμφιβολία για τα στοιχεία. Δύο άρθρα υποβλήθηκαν στην πιο προσεκτική ανάλυση και δημοσιεύτηκαν τον Μάιο του 1995 στο Annals of Mathematics.

Έχει περάσει πολύς χρόνος από εκείνη τη στιγμή, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει η άποψη στην κοινωνία ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι άλυτο. Αλλά ακόμη και όσοι γνωρίζουν για την απόδειξη που βρέθηκε συνεχίζουν να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση - λίγοι είναι ικανοποιημένοι ότι το Μεγάλο Θεώρημα απαιτεί μια λύση 130 σελίδων!

Επομένως, τώρα οι προσπάθειες πολλών μαθηματικών (κυρίως ερασιτεχνών, όχι επαγγελματιών επιστημόνων) ρίχνονται στην αναζήτηση μιας απλής και συνοπτικής απόδειξης, αλλά αυτός ο δρόμος, πιθανότατα, δεν θα οδηγήσει πουθενά...

πηγή

1

Ivliev Yu.A.

Το άρθρο είναι αφιερωμένο στην περιγραφή ενός θεμελιώδους μαθηματικού σφάλματος που έγινε κατά τη διαδικασία απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά στα τέλη του εικοστού αιώνα. Το σφάλμα που ανακαλύφθηκε όχι μόνο παραμορφώνει την αληθινή έννοια του θεωρήματος, αλλά εμποδίζει επίσης την ανάπτυξη μιας νέας αξιωματικής προσέγγισης στη μελέτη των δυνάμεων των αριθμών και των φυσικών σειρών αριθμών.

Το 1995, δημοσιεύτηκε ένα άρθρο, παρόμοιο σε μέγεθος με ένα βιβλίο, το οποίο αναφέρει την απόδειξη του περίφημου Μεγάλου (Τελευταίου) Θεωρήματος του Φερμά (WTF) (για την ιστορία του θεωρήματος και τις προσπάθειες απόδειξης του, βλ., για παράδειγμα, ). Μετά από αυτό το γεγονός, εμφανίστηκαν πολλά επιστημονικά άρθρα και βιβλία δημοφιλούς επιστήμης που προωθούν αυτήν την απόδειξη, αλλά κανένα από αυτά τα έργα δεν αποκάλυψε το θεμελιώδες μαθηματικό λάθος σε αυτό, το οποίο εισχώρησε ούτε από υπαιτιότητα του συγγραφέα, αλλά λόγω κάποιας περίεργης αισιοδοξίας που κυρίευσε το νου μαθηματικούς που μελέτησαν αυτό το πρόβλημα και σχετικά θέματα. Ψυχολογικές πτυχέςΑυτό το φαινόμενο έχει μελετηθεί σε. Εδώ παρέχουμε μια λεπτομερή ανάλυση του λάθους που συνέβη, το οποίο δεν είναι ιδιωτικής φύσης, αλλά είναι συνέπεια μιας εσφαλμένης κατανόησης των ιδιοτήτων των δυνάμεων των ακεραίων. Όπως φαίνεται στο, το πρόβλημα του Fermat έχει τις ρίζες του σε μια νέα αξιωματική προσέγγιση στη μελέτη αυτών των ιδιοτήτων, η οποία εξακολουθεί να είναι σύγχρονη επιστήμηδεν χρησιμοποιήθηκε. Αλλά μια λανθασμένη απόδειξη στάθηκε εμπόδιο, παρέχοντας στους ειδικούς της θεωρίας αριθμών ψευδείς οδηγίες και οδηγώντας τους ερευνητές του προβλήματος του Fermat μακριά από την άμεση και επαρκή επίλυσή του. Αυτή η εργασία είναι αφιερωμένη στην εξάλειψη αυτού του εμποδίου.

1. Ανατομία ενός σφάλματος που έγινε κατά την απόδειξη WTF

Στη διαδικασία της πολύ μακράς και κουραστικής συλλογιστικής, η αρχική δήλωση του Fermat αναδιατυπώθηκε με όρους σύγκρισης μιας Διοφαντινής εξίσωσης βαθμού pth με ελλειπτικές καμπύλες 3ης τάξης (βλ. Θεωρήματα 0,4 και 0,5 in). Αυτή η σύγκριση ανάγκασε τους συγγραφείς της ουσιαστικά συλλογικής απόδειξης να ανακοινώσουν ότι η μέθοδος και το σκεπτικό τους οδηγούν σε μια τελική λύση στο πρόβλημα του Fermat (υπενθυμίζουμε ότι το WTF δεν είχε αναγνωρισμένες αποδείξεις για την περίπτωση αυθαίρετων δυνάμεων ακεραίων αριθμών μέχρι τη δεκαετία του '90 του περασμένου αιώνας). Ο σκοπός αυτής της εξέτασης είναι να διαπιστωθεί η μαθηματική ανακρίβεια της παραπάνω σύγκρισης και, ως αποτέλεσμα της ανάλυσης, να βρεθεί ένα θεμελιώδες σφάλμα στην απόδειξη που παρουσιάζεται.

α) Πού και ποιο είναι το σφάλμα;

Θα ακολουθήσουμε λοιπόν το κείμενο, όπου στη σελ. 448 λέγεται ότι μετά την «πνευματώδη ιδέα» του G. Frey άνοιξε το ενδεχόμενο απόδειξης του WTF. Το 1984 ο G. Frey πρότεινε και

Ο K. Ribet απέδειξε αργότερα ότι η υποτιθέμενη ελλειπτική καμπύλη που αντιπροσωπεύει την υποθετική ακέραια λύση της εξίσωσης Fermat

y 2 = x(x + u p)(x - vιστ) (1)

δεν μπορεί να είναι αρθρωτό. Ωστόσο, οι A. Wiles και R. Taylor απέδειξαν ότι κάθε ημισταθερή ελλειπτική καμπύλη που ορίζεται στο πεδίο των ρητών αριθμών είναι σπονδυλωτή. Αυτό οδήγησε στο συμπέρασμα για την αδυναμία ακέραιων λύσεων της εξίσωσης Fermat και, κατά συνέπεια, για την εγκυρότητα της δήλωσης του Fermat, η οποία στη σημειογραφία του A. Wiles γράφτηκε ως Θεώρημα 0,5: ας υπάρχει μια ισότητα

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Οπου εσύ, v, w - ρητοί αριθμοί, ολόκληρος δείκτης p ≥ 3; τότε (2) ικανοποιείται μόνο αν uvw = 0 .

Τώρα, προφανώς, θα πρέπει να πάμε πίσω και να σκεφτούμε κριτικά γιατί η καμπύλη (1) έγινε εκ των προτέρων αντιληπτή ως ελλειπτική και ποια είναι η πραγματική της σχέση με την εξίσωση του Fermat. Προβλέποντας αυτή την ερώτηση, ο A. Wiles αναφέρεται στο έργο του Y. Hellegouarch, στο οποίο βρήκε έναν τρόπο να συσχετίσει την εξίσωση του Fermat (πιθανώς λυμένη σε ακέραιους αριθμούς) με μια υποθετική καμπύλη τρίτης τάξης. Σε αντίθεση με τον G. Frey, ο I. Elleguarche δεν συνέδεσε την καμπύλη του με αρθρωτές μορφές, ωστόσο, η μέθοδος απόκτησης της εξίσωσης (1) χρησιμοποιήθηκε για να προωθήσει περαιτέρω την απόδειξη του A. Wiles.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη δουλειά. Ο συγγραφέας διεξάγει τον συλλογισμό του με όρους προβολικής γεωμετρίας. Απλοποιώντας μερικές από τις σημειώσεις του και φέρνοντάς τες σε ευθυγράμμιση με το , διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη Abelian

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

συγκρίνεται η Διοφαντινή εξίσωση

Χ p+ y p+ z p = 0 (4)

Οπου Χ, y, zείναι άγνωστοι ακέραιοι, ο p είναι ο ακέραιος εκθέτης από το (2), και οι λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης (4) α p , β p , γ p χρησιμοποιούνται για τη γραφή της καμπύλης Abelian (3).

Τώρα, για να βεβαιωθούμε ότι αυτή είναι μια ελλειπτική καμπύλη 3ης τάξης, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τις μεταβλητές X και Y στο (3) στο ευκλείδειο επίπεδο. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον γνωστό κανόνα της αριθμητικής των ελλειπτικών καμπυλών: εάν υπάρχουν δύο ορθολογικά σημεία σε μια κυβική αλγεβρική καμπύλη και μια ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία τέμνει αυτήν την καμπύλη σε άλλο σημείο, τότε η τελευταία είναι επίσης ένα ορθολογικό σημείο . Η υποθετική εξίσωση (4) αντιπροσωπεύει τυπικά το νόμο της πρόσθεσης σημείων σε μια ευθεία γραμμή. Αν κάνουμε αλλαγή μεταβλητών Χ p = A, y p = B, z p = C και κατευθύνουμε την προκύπτουσα ευθεία κατά μήκος του άξονα Χ στο (3), τότε θα τέμνει την καμπύλη 3ου βαθμού σε τρία σημεία: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), η οποία αντανακλάται στη σημειογραφία της καμπύλης Abelian (3) και σε παρόμοια σημείωση (1). Ωστόσο, η καμπύλη (3) ή (1) είναι στην πραγματικότητα ελλειπτική; Προφανώς, όχι, γιατί τα τμήματα της ευκλείδειας ευθείας, όταν προσθέτουμε σημεία σε αυτήν, λαμβάνονται σε μη γραμμική κλίμακα.

Επιστρέφοντας στα γραμμικά συστήματα συντεταγμένων του Ευκλείδειου χώρου, λαμβάνουμε αντί για (1) και (3) τύπους που είναι πολύ διαφορετικοί από τους τύπους για τις ελλειπτικές καμπύλες. Για παράδειγμα, το (1) θα μπορούσε να έχει την ακόλουθη μορφή:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - vσελ) (5)

όπου ξ p = x, η p = y, και η έκκληση στο (1) σε αυτή την περίπτωση για την εξαγωγή του WTF φαίνεται αθέμιτη. Παρά το γεγονός ότι το (1) ικανοποιεί ορισμένα κριτήρια για την κατηγορία των ελλειπτικών καμπυλών, το πιο σημαντικό κριτήριο είναι να είναι μια εξίσωση 3ου βαθμού στο γραμμικό σύστημαδεν ικανοποιεί τις συντεταγμένες.

β) Ταξινόμηση σφαλμάτων

Ας επιστρέψουμε λοιπόν για άλλη μια φορά στην αρχή της εξέτασης και ας δούμε πώς βγαίνει το συμπέρασμα για την αλήθεια του WTF. Πρώτον, υποτίθεται ότι υπάρχει κάποια λύση στην εξίσωση του Fermat σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Δεύτερον, αυτή η λύση εισάγεται αυθαίρετα σε μια αλγεβρική μορφή μιας γνωστής μορφής (μια επίπεδη καμπύλη βαθμού 3) με την υπόθεση ότι υπάρχουν οι ελλειπτικές καμπύλες που ελήφθησαν έτσι (η δεύτερη μη επιβεβαιωμένη υπόθεση). Τρίτον, εφόσον άλλες μέθοδοι αποδεικνύουν ότι η συγκεκριμένη καμπύλη που κατασκευάστηκε είναι μη αρθρωτή, σημαίνει ότι δεν υπάρχει. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα: δεν υπάρχει ακέραια λύση στην εξίσωση του Fermat και, επομένως, το WTF είναι σωστό.

Υπάρχει ένας αδύναμος κρίκος σε αυτά τα επιχειρήματα, το οποίο, μετά από λεπτομερή επαλήθευση, αποδεικνύεται ότι είναι σφάλμα. Αυτό το σφάλμα εμφανίζεται στο δεύτερο στάδιο της διαδικασίας απόδειξης, όταν υποτίθεται ότι η υποθετική λύση της εξίσωσης του Fermat είναι επίσης λύση αλγεβρική εξίσωση 3ου βαθμού, που περιγράφει μια ελλειπτική καμπύλη γνωστού τύπου. Από μόνη της, μια τέτοια υπόθεση θα ήταν δικαιολογημένη εάν η υποδεικνυόμενη καμπύλη ήταν πραγματικά ελλειπτική. Ωστόσο, όπως φαίνεται από το σημείο 1α), αυτή η καμπύλη παρουσιάζεται σε μη γραμμικές συντεταγμένες, γεγονός που την καθιστά «απατηλή», δηλ. δεν υπάρχει πραγματικά στον γραμμικό τοπολογικό χώρο.

Τώρα πρέπει να ταξινομήσουμε ξεκάθαρα το σφάλμα που βρέθηκε. Βρίσκεται στο ότι αυτό που πρέπει να αποδειχθεί παρουσιάζεται ως αποδεικτικό επιχείρημα. Στην κλασική λογική αυτό το σφάλμα είναι γνωστό ως «φαύλος κύκλος». Σε αυτή την περίπτωση, η ακέραια λύση της εξίσωσης του Fermat συγκρίνεται (προφανώς, πιθανώς μοναδικά) με μια πλασματική, ανύπαρκτη ελλειπτική καμπύλη, και στη συνέχεια όλο το πάθος της περαιτέρω συλλογιστικής δαπανάται για να αποδειχθεί ότι λαμβάνεται μια συγκεκριμένη ελλειπτική καμπύλη αυτής της μορφής από υποθετικές λύσεις της εξίσωσης Fermat, δεν υπάρχει.

Πώς συνέβη που ένα τόσο στοιχειώδες λάθος χάθηκε σε σοβαρή μαθηματική εργασία; Αυτό πιθανώς συνέβη λόγω του γεγονότος ότι τα «απατηλά» αντικείμενα δεν είχαν μελετηθεί προηγουμένως στα μαθηματικά. γεωμετρικά σχήματατου καθορισμένου τύπου. Πράγματι, ποιος θα μπορούσε να ενδιαφέρεται, για παράδειγμα, για έναν πλασματικό κύκλο που προκύπτει από την εξίσωση του Fermat αντικαθιστώντας τις μεταβλητές x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C; Εξάλλου, η εξίσωσή της C 2 = A 2 + B 2 δεν έχει ακέραιες λύσεις για ακέραιο x, y, z και n ≥ 3. Στους μη γραμμικούς άξονες συντεταγμένων X και Y, ένας τέτοιος κύκλος θα περιγραφόταν από την εξίσωση, σύμφωνα με εμφάνισηπολύ παρόμοια με την τυπική φόρμα:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

όπου τα Α και Β δεν είναι πλέον μεταβλητές, αλλά συγκεκριμένοι αριθμοί που καθορίζονται από την παραπάνω αντικατάσταση. Αν όμως δοθεί στους αριθμούς Α και Β η αρχική τους μορφή, η οποία συνίσταται στον χαρακτήρα ισχύος τους, τότε η ετερογένεια της σημειογραφίας στους παράγοντες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης τραβά αμέσως το βλέμμα. Αυτό το χαρακτηριστικό βοηθά στη διάκριση της ψευδαίσθησης από την πραγματικότητα και στη μετάβαση από τις μη γραμμικές σε γραμμικές συντεταγμένες. Από την άλλη πλευρά, αν θεωρήσουμε τους αριθμούς ως τελεστές όταν τους συγκρίνουμε με μεταβλητές, όπως για παράδειγμα στην (1), τότε και οι δύο πρέπει να είναι ομοιογενείς ποσότητες, δηλ. πρέπει να έχουν τα ίδια πτυχία.

Αυτή η κατανόηση των δυνάμεων των αριθμών ως τελεστών μας επιτρέπει επίσης να δούμε ότι η σύγκριση της εξίσωσης Fermat με μια απατηλή ελλειπτική καμπύλη δεν είναι σαφής. Πάρτε, για παράδειγμα, έναν από τους παράγοντες στη δεξιά πλευρά του (5) και αποσυνθέστε τον σε p γραμμικούς συντελεστές, εισάγοντας έναν μιγαδικό αριθμό r έτσι ώστε r p = 1 (δείτε για παράδειγμα):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Τότε η μορφή (5) μπορεί να αναπαρασταθεί ως αποσύνθεση σε πρώτους συντελεστές μιγαδικών αριθμών σύμφωνα με τον τύπο της αλγεβρικής ταυτότητας (6), ωστόσο, η μοναδικότητα μιας τέτοιας αποσύνθεσης στη γενική περίπτωση αμφισβητείται, όπως είχε δείξει κάποτε ο Kummer .

2. Συμπεράσματα

Από την προηγούμενη ανάλυση προκύπτει ότι η λεγόμενη αριθμητική των ελλειπτικών καμπυλών δεν είναι σε θέση να ρίξει φως στο πού να αναζητήσουμε μια απόδειξη του WTF. Μετά το έργο, η δήλωση του Fermat, παρεμπιπτόντως, που λαμβάνεται ως επίγραφο αυτού του άρθρου, άρχισε να γίνεται αντιληπτή ως ιστορικό αστείο ή φάρσα. Ωστόσο, στην πραγματικότητα αποδεικνύεται ότι δεν αστειεύτηκε ο Fermat, αλλά οι ειδικοί που συγκεντρώθηκαν σε ένα μαθηματικό συμπόσιο στο Oberwolfach στη Γερμανία το 1984, στο οποίο ο G. Frey εξέφρασε την πνευματώδη ιδέα του. Οι συνέπειες μιας τέτοιας απρόσεκτης δήλωσης έφεραν τα μαθηματικά στο σύνολό τους στο χείλος της απώλειας της εμπιστοσύνης του κοινού, κάτι που περιγράφεται λεπτομερώς και που αναγκαστικά θέτει το ζήτημα της ευθύνης των επιστημονικών ιδρυμάτων απέναντι στην κοινωνία. Η σύγκριση της εξίσωσης Fermat με την καμπύλη Frey (1) είναι το «κλείδωμα» ολόκληρης της απόδειξης του Wiles σχετικά με το θεώρημα του Fermat, και αν δεν υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ της καμπύλης Fermat και των αρθρωτών ελλειπτικών καμπυλών, τότε δεν υπάρχει απόδειξη.

Πρόσφατα, εμφανίστηκαν διάφορες αναφορές στο Διαδίκτυο ότι ορισμένοι εξέχοντες μαθηματικοί βρήκαν τελικά την απόδειξη του Wiles για το θεώρημα του Fermat, έχοντας βρει μια αιτιολόγηση με τη μορφή ενός «ελάχιστου» επανυπολογισμού ακεραίων σημείων στον Ευκλείδειο χώρο. Ωστόσο, καμία καινοτομία δεν μπορεί να ακυρώσει τα κλασικά αποτελέσματα που έχει ήδη αποκτήσει η ανθρωπότητα στα μαθηματικά, ιδιαίτερα το γεγονός ότι, παρόλο που οποιοσδήποτε τακτικός αριθμός συμπίπτει με το ποσοτικό ανάλογο, δεν μπορεί να τον αντικαταστήσει σε πράξεις σύγκρισης αριθμών μεταξύ τους, και ως εκ τούτου με το αναπόφευκτο συμπέρασμα προκύπτει ότι η καμπύλη Frey (1) δεν είναι αρχικά ελλειπτική, δηλ. δεν είναι εξ ορισμού.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

1. Ivliev Yu.A. Ανακατασκευή της εγγενούς απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά - United Scientific Journal (ενότητα "Μαθηματικά"). Απρίλιος 2006 No. 7 (167) σελ. 3-9, βλέπε επίσης Praci Lugansk Branch of the International Academy of Informatization. Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ουκρανίας. Skhidnoukransky National University που πήρε το όνομά του. V.Dal. 2006 Νο 2 (13) σελ.19-25.
2. Ivliev Yu.A. Η μεγαλύτερη επιστημονική απάτη του 20ου αιώνα: η «απόδειξη» του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά - Φυσικό και Τεχνική επιστήμη(ενότητα «Ιστορία και μεθοδολογία των μαθηματικών»). Αύγουστος 2007 Νο 4 (30) σελ.34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) Το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Γενετική εισαγωγή στην αλγεβρική θεωρία αριθμών. Ανά. από τα Αγγλικά επεξεργάστηκε από B.F.Skubenko. Μ.: Mir 1980, 484 p.
4. Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI σ.253-263.
5. Wiles A. Αρθρωτές ελλειπτικές καμπύλες και το τελευταίο θεώρημα του Fermat - Annals of Mathematics. Μάιος 1995 τ.141 Δεύτερη σειρά Νο 3 σελ.443-551.

Βιβλιογραφικός σύνδεσμος

Ivliev Yu.A. ΨΕΥΔΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΦΕΡΜΑ // Βασική έρευνα. – 2008. – No. 3. – P. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (ημερομηνία πρόσβασης: 17/03/2020). Φέρνουμε στην προσοχή σας περιοδικά που εκδίδονται από τον εκδοτικό οίκο "Ακαδημία Φυσικών Επιστημών"

Κρίνοντας από τη δημοτικότητα του ερωτήματος "Θεώρημα Fermat - σύντομη απόδειξη"Αυτό μαθηματικό πρόβλημαενδιαφέρει πραγματικά πολύ κόσμο. Αυτό το θεώρημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Pierre de Fermat το 1637 στην άκρη ενός αντιγράφου της Αριθμητικής, όπου ισχυρίστηκε ότι είχε μια λύση που ήταν πολύ μεγάλη για να χωρέσει στην άκρη.

Η πρώτη επιτυχημένη απόδειξη δημοσιεύθηκε το 1995, μια πλήρης απόδειξη του θεωρήματος του Fermat από τον Andrew Wiles. Περιγράφηκε ως "εκπληκτική πρόοδος" και οδήγησε τον Wiles να λάβει το βραβείο Abel το 2016. Αν και περιγράφηκε σχετικά συνοπτικά, η απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά απέδειξε επίσης μεγάλο μέρος του θεωρήματος της σπονδυλωτικότητας και άνοιξε νέες προσεγγίσεις σε πολλά άλλα προβλήματα και αποτελεσματικές μεθόδουςη άνοδος της αρθρωτής. Αυτά τα επιτεύγματα προώθησαν τα μαθηματικά κατά 100 χρόνια. Η απόδειξη του μικρού θεωρήματος του Φερμά δεν είναι κάτι ασυνήθιστο σήμερα.

Το άλυτο πρόβλημα τόνωσε την ανάπτυξη της αλγεβρικής θεωρίας των αριθμών τον 19ο αιώνα και την αναζήτηση μιας απόδειξης του θεωρήματος της σπονδυλωτικότητας τον 20ο αιώνα. Αυτό είναι ένα από τα πιο αξιοσημείωτα θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και πριν από την πλήρη απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat με τη μέθοδο της διαίρεσης, ήταν στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως το «πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα», ένα από τα χαρακτηριστικά του που είναι ότι έχει μεγαλύτερος αριθμόςανεπιτυχή στοιχεία.

Ιστορική αναφορά

Η Πυθαγόρεια εξίσωση x 2 + y 2 = z 2 έχει άπειρο αριθμό θετικών ακεραίων λύσεων για x, y και z. Αυτές οι λύσεις είναι γνωστές ως Πυθαγόρειες τριάδες. Γύρω στο 1637, ο Fermat έγραψε στην άκρη ενός βιβλίου ότι η πιο γενική εξίσωση a n + b n = c n δεν έχει λύσεις σε φυσικούς αριθμούς, αν το n είναι ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 2. Αν και ο ίδιος ο Fermat ισχυρίστηκε ότι είχε μια λύση στο πρόβλημά του, δεν άφησε λεπτομέρειες για την απόδειξή του. Η στοιχειώδης απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, που δηλώθηκε από τον δημιουργό του, ήταν μάλλον η καυχησιολογική εφεύρεση του. Το βιβλίο του μεγάλου Γάλλου μαθηματικού ανακαλύφθηκε 30 χρόνια μετά τον θάνατό του. Αυτή η εξίσωση, που ονομάζεται Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, παρέμεινε άλυτη στα μαθηματικά για τρεισήμισι αιώνες.

Το θεώρημα έγινε τελικά ένα από τα πιο αξιοσημείωτα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Οι προσπάθειες να αποδειχθεί αυτό πυροδότησε σημαντικές εξελίξεις στη θεωρία αριθμών και με την πάροδο του χρόνου, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά έγινε γνωστό ως ένα άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά.

Σύντομο ιστορικό αποδεικτικών στοιχείων

Αν n = 4, όπως απέδειξε ο ίδιος ο Fermat, αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα για τους δείκτες n, που είναι πρώτοι αριθμοί. Κατά τους επόμενους δύο αιώνες (1637-1839) η εικασία αποδείχθηκε μόνο για τους πρώτους αριθμούς 3, 5 και 7, αν και η Sophie Germain ενημέρωσε και απέδειξε μια προσέγγιση που ίσχυε για ολόκληρη την κατηγορία των πρώτων αριθμών. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Ernst Kummer επεκτάθηκε σε αυτό και απέδειξε το θεώρημα για όλους τους κανονικούς πρώτους, με αποτέλεσμα οι ακανόνιστοι πρώτοι να αναλυθούν μεμονωμένα. Βασιζόμενοι στο έργο του Kummer και χρησιμοποιώντας εξελιγμένη έρευνα στον υπολογιστή, άλλοι μαθηματικοί μπόρεσαν να επεκτείνουν τη λύση στο θεώρημα, στοχεύοντας να καλύψουν όλους τους κύριους εκθέτες έως και τέσσερα εκατομμύρια, αλλά η απόδειξη για όλους τους εκθέτες ήταν ακόμα μη διαθέσιμη (που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί γενικά θεωρούσαν τη λύση στο θεώρημα αδύνατο, εξαιρετικά δύσκολο ή ανέφικτο με την τρέχουσα γνώση).

Έργο των Shimura και Taniyama

Το 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Goro Shimura και Yutaka Taniyama υποψιάστηκαν ότι υπήρχε σύνδεση μεταξύ ελλειπτικών καμπυλών και σπονδυλωτών μορφών, δύο τελείως διαφορετικών τομέων των μαθηματικών. Γνωστό τότε ως εικασία Taniyama-Shimura-Weil και (τελικά) ως θεώρημα σπονδυλωτικότητας, στάθηκε από μόνο του, χωρίς εμφανή σχέση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Θεωρήθηκε ευρέως ως ένα σημαντικό μαθηματικό θεώρημα από μόνο του, αλλά θεωρήθηκε (όπως το θεώρημα του Fermat) αδύνατο να αποδειχθεί. Ταυτόχρονα, η απόδειξη του μεγάλου θεωρήματος του Φερμά (με τη μέθοδο της διαίρεσης και τη χρήση πολύπλοκων μαθηματικών τύπων) πραγματοποιήθηκε μόλις μισό αιώνα αργότερα.

Το 1984, ο Gerhard Frey παρατήρησε μια προφανή σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο προηγουμένως άσχετων και άλυτων προβλημάτων. Η πλήρης απόδειξη ότι τα δύο θεωρήματα ήταν στενά συνδεδεμένα δημοσιεύτηκε το 1986 από τον Ken Ribet, ο οποίος βασίστηκε σε μια μερική απόδειξη του Jean-Pierre Serres, ο οποίος απέδειξε όλα εκτός από ένα μέρος, γνωστή ως "εικασία έψιλον". Με απλά λόγια, αυτές οι εργασίες των Frey, Serres και Ribe έδειξαν ότι εάν το θεώρημα της σπονδυλωτότητας μπορούσε να αποδειχτεί για τουλάχιστον μια ημισταθερή κατηγορία ελλειπτικών καμπυλών, τότε η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat θα ανακαλυπτόταν αργά ή γρήγορα. Οποιαδήποτε λύση που μπορεί να έρχεται σε αντίθεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αντικρούσει το θεώρημα της σπονδυλωτικότητας. Επομένως, εάν το θεώρημα της σπονδυλωτικότητας αποδεικνύεται αληθές, τότε εξ ορισμού δεν μπορεί να υπάρξει λύση που να έρχεται σε αντίθεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat, πράγμα που σημαίνει ότι θα έπρεπε να είχε αποδειχθεί σύντομα.

Παρόλο που και τα δύο θεωρήματα ήταν δύσκολα προβλήματα στα μαθηματικά, θεωρήθηκαν άλυτα, το έργο των δύο Ιαπώνων ήταν η πρώτη πρόταση για το πώς το τελευταίο θεώρημα του Φερμά θα μπορούσε να επεκταθεί και να αποδειχθεί για όλους τους αριθμούς, όχι μόνο για μερικούς. Σημαντικό για τους ερευνητές που επέλεξαν το θέμα της έρευνας ήταν το γεγονός ότι, σε αντίθεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat, το θεώρημα της σπονδυλωτικότητας ήταν ένας σημαντικός ενεργός τομέας έρευνας για τον οποίο είχε αναπτυχθεί μια απόδειξη, και όχι απλώς μια ιστορική παραδοξότητα, οπότε ο χρόνος που ξοδεύτηκε Η εργασία σε αυτό θα μπορούσε να δικαιολογηθεί από επαγγελματική άποψη. Ωστόσο, η γενική συναίνεση ήταν ότι η επίλυση της εικασίας Taniyama-Shimura δεν ήταν πρακτική.

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat: Απόδειξη του Wiles

Αφού έμαθε ότι ο Ribet είχε αποδείξει τη θεωρία του Frey σωστή, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles, ο οποίος ενδιαφερόταν για το τελευταίο θεώρημα του Fermat από την παιδική του ηλικία και είχε εμπειρία στην εργασία με ελλειπτικές καμπύλες και συναφή πεδία, αποφάσισε να προσπαθήσει να αποδείξει την εικασία Taniyama-Shimura ως τρόπο να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το 1993, έξι χρόνια μετά την ανακοίνωση του στόχου του, ενώ εργαζόταν κρυφά στο πρόβλημα της επίλυσης του θεωρήματος, ο Wiles κατάφερε να αποδείξει μια σχετική εικασία, η οποία με τη σειρά του θα τον βοηθούσε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Το έγγραφο του Wiles ήταν τεράστιο σε μέγεθος και εύρος.

Το ελάττωμα ανακαλύφθηκε σε ένα μέρος της αρχικής του εργασίας κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομοτίμους και χρειάστηκε άλλος ένας χρόνος συνεργασίας με τον Richard Taylor για την από κοινού επίλυση του θεωρήματος. Ως αποτέλεσμα, η τελική απόδειξη του Wiles για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat δεν άργησε να έρθει. Το 1995 δημοσιεύτηκε σε πολύ μικρότερη κλίμακα από την προηγούμενη μαθηματική εργασία του Wiles, δείχνοντας ξεκάθαρα ότι δεν έκανε λάθος στα προηγούμενα συμπεράσματά του σχετικά με τη δυνατότητα απόδειξης του θεωρήματος. Το επίτευγμα του Γουάιλς αναφέρθηκε ευρέως στο δημοφιλές Τύπο και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη της εικασίας Taniyama-Shimura-Weil, τα οποία έχουν πλέον αποδειχθεί και είναι γνωστά ως θεώρημα σπονδυλωτικότητας, αποδείχθηκαν στη συνέχεια από άλλους μαθηματικούς που βασίστηκαν στο έργο του Wiles μεταξύ 1996 και 2001. Για το επίτευγμά του, ο Wiles τιμήθηκε και έλαβε πολλά βραβεία, συμπεριλαμβανομένου του βραβείου Abel 2016.

Η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά από τον Wiles είναι μια ειδική περίπτωση λύσης στο θεώρημα σπονδυλωτότητας για ελλειπτικές καμπύλες. Ωστόσο, αυτή είναι η πιο διάσημη περίπτωση μιας τόσο μεγάλης κλίμακας μαθηματικής πράξης. Μαζί με την επίλυση του θεωρήματος του Ribet, ο Βρετανός μαθηματικός απέκτησε επίσης μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά και το Θεώρημα Αρθρωτότητας θεωρήθηκαν σχεδόν παγκοσμίως αναπόδεικτα σύγχρονοι μαθηματικοί, αλλά ο Andrew Wiles μπόρεσε να αποδείξει τα πάντα επιστημονικό κόσμοότι ακόμη και οι μορφωμένοι άνθρωποι είναι ικανοί να κάνουν λάθη.

Ο Wiles ανακοίνωσε για πρώτη φορά την ανακάλυψή του την Τετάρτη 23 Ιουνίου 1993 σε μια διάλεξη στο Cambridge με τίτλο "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". Ωστόσο, τον Σεπτέμβριο του 1993 διαπιστώθηκε ότι οι υπολογισμοί του περιείχαν λάθος. Ένα χρόνο αργότερα, στις 19 Σεπτεμβρίου 1994, σε αυτό που θα αποκαλούσε «την πιο σημαντική στιγμή της επαγγελματικής του ζωής», ο Wiles έπεσε πάνω σε μια αποκάλυψη που του επέτρεψε να διορθώσει τη λύση του προβλήματος σε σημείο που θα μπορούσε να ικανοποιήσει τα μαθηματικά κοινότητα.

Χαρακτηριστικά της εργασίας

Η απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά από τον Andrew Wiles χρησιμοποιεί πολλές τεχνικές από την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών και έχει πολλές προεκτάσεις σε αυτούς τους τομείς των μαθηματικών. Χρησιμοποιεί επίσης τυπικές κατασκευές της σύγχρονης αλγεβρικής γεωμετρίας, όπως η κατηγορία των σχημάτων και η θεωρία Iwasawa, καθώς και άλλες μεθόδους του 20ου αιώνα που δεν ήταν διαθέσιμες στον Pierre Fermat.

Τα δύο άρθρα που περιέχουν τα στοιχεία είναι συνολικά 129 σελίδες και γράφτηκαν σε διάστημα επτά ετών. Ο Τζον Κόουτς περιέγραψε αυτή την ανακάλυψη ως ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της θεωρίας αριθμών και ο Τζον Κόνγουεϊ την αποκάλεσε το κύριο μαθηματικό επίτευγμα του 20ου αιώνα. Ο Wiles, προκειμένου να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδεικνύοντας το θεώρημα της σπονδυλωτότητας για την ειδική περίπτωση ημισταθήσιμων ελλειπτικών καμπυλών, ανέπτυξε αποτελεσματικές μεθόδουςη άνοδος της αρθρωτής δομής και άνοιξε νέες προσεγγίσεις σε πολλά άλλα προβλήματα. Για την επίλυση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά ονομάστηκε ιππότης και έλαβε άλλα βραβεία. Όταν κυκλοφόρησε η είδηση ​​ότι ο Γουάιλς κέρδισε το Βραβείο Άμπελ, η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών περιέγραψε το επίτευγμά του ως «θαυμαστή και στοιχειώδης απόδειξηΤο τελευταίο θεώρημα του Φερμά».

Πως ήταν

Ένας από τους ανθρώπους που ανέλυσαν το αρχικό χειρόγραφο της λύσης του θεωρήματος του Wiles ήταν ο Nick Katz. Κατά τη διάρκεια της κριτικής του, έθεσε στον Βρετανό μια σειρά από διευκρινιστικές ερωτήσεις, οι οποίες ανάγκασαν τον Γουάιλς να παραδεχτεί ότι το έργο του περιείχε σαφώς ένα κενό. Υπήρχε ένα σφάλμα σε ένα κρίσιμο μέρος της απόδειξης που έδωσε μια εκτίμηση για την τάξη μιας συγκεκριμένης ομάδας: το σύστημα Euler που χρησιμοποιήθηκε για την επέκταση της μεθόδου Kolyvagin και Flach ήταν ατελές. Το λάθος, ωστόσο, δεν κατέστησε άχρηστο το έργο του - κάθε μέρος του έργου του Wiles ήταν πολύ σημαντικό και καινοτόμο από μόνο του, όπως και πολλές από τις εξελίξεις και τις μεθόδους που δημιούργησε κατά τη διάρκεια της δουλειάς του και οι οποίες επηρέασαν μόνο ένα μέρος το χειρόγραφο. Ωστόσο, αυτό το πρωτότυπο έργο, που δημοσιεύτηκε το 1993, δεν παρείχε στην πραγματικότητα μια απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

Ο Wiles πέρασε σχεδόν ένα χρόνο προσπαθώντας να ανακαλύψει ξανά τη λύση του θεωρήματος, πρώτα μόνος και στη συνέχεια σε συνεργασία με τον πρώην μαθητή του Richard Taylor, αλλά όλα φαινόταν να ήταν μάταια. Μέχρι το τέλος του 1993, είχαν διαδοθεί φήμες ότι η απόδειξη του Wiles είχε αποτύχει στις δοκιμές, αλλά το πόσο σοβαρή ήταν η αποτυχία δεν ήταν γνωστό. Οι μαθηματικοί άρχισαν να πιέζουν τον Wiles να αποκαλύψει τις λεπτομέρειες της δουλειάς του, είτε είχε ολοκληρωθεί είτε όχι, ώστε η ευρύτερη κοινότητα των μαθηματικών να εξερευνήσει και να χρησιμοποιήσει όλα όσα είχε πετύχει. Αντί να διορθώσει γρήγορα το λάθος του, ο Wiles ανακάλυψε μόνο πρόσθετες πολυπλοκότητες στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat και τελικά συνειδητοποίησε πόσο δύσκολο ήταν.

Ο Wiles δηλώνει ότι το πρωί της 19ης Σεπτεμβρίου 1994, ήταν στα πρόθυρα να τα παρατήσει και να τα παρατήσει, και σχεδόν παραιτήθηκε από το γεγονός ότι είχε αποτύχει. Ήταν πρόθυμος να δημοσιεύσει το ημιτελές έργο του, ώστε οι άλλοι να μπορέσουν να χτίσουν πάνω σε αυτό και να βρουν πού είχε κάνει λάθος. Ο Άγγλος μαθηματικός αποφάσισε να δώσει στον εαυτό του μια τελευταία ευκαιρία και ανέλυσε το θεώρημα μια τελευταία φορά για να προσπαθήσει να κατανοήσει τους κύριους λόγους για τους οποίους η προσέγγισή του δεν λειτούργησε, όταν ξαφνικά συνειδητοποίησε ότι η προσέγγιση Kolyvagin-Flac δεν θα λειτουργούσε μέχρι να συμπεριλάβει και την απόδειξη στο η διαδικασία Η θεωρία του Iwasawa, που την κάνει να λειτουργήσει.

Στις 6 Οκτωβρίου, ο Wiles ζήτησε από τρεις συναδέλφους του (συμπεριλαμβανομένου του Faltins) να τον εξετάσουν νέα δουλειά, και στις 24 Οκτωβρίου 1994, υπέβαλε δύο χειρόγραφα - "Modular eliptic curves and Fermat's last theorem" και " Θεωρητικές ιδιότητεςδαχτυλίδια ορισμένων άλγεβρων Hecke», η δεύτερη από τις οποίες ο Wiles συνέγραψε με τον Taylor και απέδειξε ότι πληρούνταν ορισμένες προϋποθέσεις που ήταν απαραίτητες για να δικαιολογηθεί το διορθωμένο βήμα στην κύρια εργασία.

Αυτές οι δύο εργασίες εξετάστηκαν και τελικά δημοσιεύθηκαν ως πλήρης έκδοση στο τεύχος Μαΐου 1995 των Annals of Mathematics. Οι νέοι υπολογισμοί του Andrew αναλύθηκαν ευρέως και τελικά έγιναν αποδεκτοί από την επιστημονική κοινότητα. Σε αυτές τις εργασίες, το θεώρημα της σπονδυλωτότητας καθιερώθηκε για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες - τελευταίο βήμαστην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, 358 χρόνια μετά τη δημιουργία του.

Ιστορία του Μεγάλου Προβλήματος

Η επίλυση αυτού του θεωρήματος θεωρείται το μεγαλύτερο πρόβλημα στα μαθηματικά εδώ και πολλούς αιώνες. Το 1816 και το 1850 Γαλλική ΑκαδημίαΟι Επιστήμες πρόσφεραν ένα βραβείο για μια γενική απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το 1857 η Ακαδημία απένειμε 3.000 φράγκα και χρυσό μετάλλιο Kummer για την έρευνά του στους ιδανικούς αριθμούς, αν και δεν έκανε αίτηση για το βραβείο. Ένα άλλο βραβείο του προσφέρθηκε το 1883 από την Ακαδημία των Βρυξελλών.

Βραβείο Wolfskehl

Το 1908, ο Γερμανός βιομήχανος και ερασιτέχνης μαθηματικός Paul Wolfskehl κληροδότησε 100.000 χρυσά μάρκα (ένα μεγάλο ποσό για εκείνη την εποχή) στην Ακαδημία Επιστημών του Γκέτινγκεν ως βραβείο για μια πλήρη απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Στις 27 Ιουνίου 1908, η Ακαδημία δημοσίευσε εννέα κανόνες απονομής βραβείων. Μεταξύ άλλων, αυτοί οι κανόνες απαιτούσαν τη δημοσίευση των αποδεικτικών στοιχείων σε περιοδικό με κριτές. Το βραβείο επρόκειτο να απονεμηθεί παρά μόνο δύο χρόνια μετά τη δημοσίευσή του. Ο διαγωνισμός επρόκειτο να λήξει στις 13 Σεπτεμβρίου 2007 - περίπου έναν αιώνα μετά την έναρξή του. Στις 27 Ιουνίου 1997, ο Wiles έλαβε το χρηματικό έπαθλο του Wolfschel και στη συνέχεια άλλα 50.000 δολάρια. Τον Μάρτιο του 2016, έλαβε 600.000 ευρώ από τη νορβηγική κυβέρνηση ως μέρος του βραβείου Abel για την «εκπληκτική απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά χρησιμοποιώντας την εικασία σπονδυλωτότητας για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες, αποκαλύπτοντας νέα εποχήστη θεωρία αριθμών». Ήταν ένας παγκόσμιος θρίαμβος για τον ταπεινό Άγγλο.

Πριν από την απόδειξη του Wiles, το θεώρημα του Fermat, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, θεωρούνταν απολύτως άλυτο για αιώνες. Χιλιάδες λανθασμένα στοιχεία σε διαφορετική ώραπαρουσιάστηκαν στην επιτροπή του Wolfskehl, αντιστοιχώντας σε περίπου 10 πόδια (3 μέτρα) αλληλογραφία. Μόνο τον πρώτο χρόνο ύπαρξης του βραβείου (1907-1908), υποβλήθηκαν 621 αιτήσεις που διεκδικούσαν την επίλυση του θεωρήματος, αν και μέχρι τη δεκαετία του 1970 ο αριθμός αυτός είχε μειωθεί σε περίπου 3-4 αιτήσεις το μήνα. Σύμφωνα με τον F. Schlichting, τον κριτικό του Wolfschel, τα περισσότερα στοιχεία βασίζονταν σε στοιχειώδεις μεθόδους που διδάσκονταν στα σχολεία και συχνά παρουσιάζονταν από «άτομα με τεχνικό υπόβαθρο αλλά μια ανεπιτυχή καριέρα». Σύμφωνα με τον ιστορικό των μαθηματικών Howard Aves, το τελευταίο θεώρημα του Fermat σημείωσε ένα είδος ρεκόρ - είναι το θεώρημα με τις περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις.

Οι δάφνες Fermat πήγαν στους Ιάπωνες

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, γύρω στο 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Goro Shimura και Yutaka Taniyama ανακάλυψαν μια πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο φαινομενικά εντελώς διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών - ελλειπτικές καμπύλες και αρθρωτές μορφές. Το προκύπτον θεώρημα αρθρωτότητας (τότε γνωστό ως εικασία Taniyama-Shimura) από την έρευνά τους δηλώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, που σημαίνει ότι μπορεί να συσχετιστεί με μια μοναδική αρθρωτή μορφή.

Η θεωρία αρχικά απορρίφθηκε ως απίθανη ή άκρως εικαστική, αλλά λήφθηκε πιο σοβαρά όταν ο θεωρητικός αριθμών Andre Weyl βρήκε στοιχεία για να υποστηρίξει τα ευρήματα των Ιαπώνων. Ως αποτέλεσμα, η εικασία ονομαζόταν συχνά εικασία Taniyama-Shimura-Weil. Έγινε μέρος του προγράμματος Langlands, το οποίο είναι ένας κατάλογος σημαντικών υποθέσεων που απαιτούν απόδειξη στο μέλλον.

Ακόμη και μετά από σοβαρή προσοχή, η εικασία αναγνωρίστηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολο ή ίσως αδύνατο να αποδειχθεί. Τώρα είναι αυτό το θεώρημα που περιμένει τον Andrew Wiles, ο οποίος θα μπορούσε να εκπλήξει ολόκληρο τον κόσμο με τη λύση του.

Θεώρημα Fermat: Η απόδειξη του Perelman

Παρά τον δημοφιλή μύθο, ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν, παρ' όλη την ιδιοφυΐα του, δεν έχει καμία σχέση με το θεώρημα του Φερμά. Κάτι που όμως δεν μειώνει σε καμία περίπτωση τις πολυάριθμες υπηρεσίες του στην επιστημονική κοινότητα.